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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small BTS Cira}
\rhead{\textbf{\tiny S.L.M.}}
\lfoot{\small{Lycée Robert Schuman}}
\rfoot{\small{mars 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
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\begin{enumerate}
\item  On a obtenu à l'aide d'une calculatrice:

\[\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos t\:\text{d}t = 0~~\text{et}~~\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos (2t)\:\text{d}t = - \dfrac{2}{3}.\]
Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.

\item   On considère le signal, modélisé par la fonction réelle $e$, de période $2\pi$, définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
e(t)& =&\sin t& \text{si}& t \in ~[0~;~\pi]\\
e(t)& =&0&\text{si}& t \in  ~]\pi~;~ 2\pi[.\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction $e$ pour $t$ variant dans l'intervalle $[-2 \pi~;~ 4\pi]$.
		\item  Calculer les coefficients de Fourier $a_{0}~, a_{1}$ et $a_{2}$ de la fonction $e$. On admettra dans la suite de l'exercice que les coefficients $b_{1}$ et $b_{2}$ valent : $b_{1} = \dfrac{1}{2}$ et $b_{2} = 0.$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le carré $E^2$ de la valeur efficace du signal $e$.
		 \item On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

\[E^2	= a_{0}^2 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}.\]
Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2.

Soit $P$ le nombre défini par : $P=a_{0}^2 +  \dfrac{1}{2}\left(a_{1}^2 + b_{1}^2 + a_{2}^2  +b_{2}^2\right)$.

Calculer P, puis donner une approximation décimale à $10^{-3}$ près du rapport $\dfrac{P}{E^2}$.


\emph{La comparaison de $E^2$ et $P$ justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
	\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose dans cette partie d'obtenir l'intensité $i$ du courant dans le circuit ci-dessous lorsqu'il est alimenté par le signal d'entrée $e$ défini dans la partie A.
	
\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,4)(6,4)
\pnode(6,4){A} \pnode(6,0){B}
\pnode(0,0){C}
\capacitor(A)(B){$C$}
\resistor(B)(C){$R$}
\uput[l](0,2){$e(t)$} \uput[u](3,4){$i(t)$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0.3)(0,3.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'équation permettant de trouver l'intensité du courant est, pour $t  \in [0~;~+ \infty[$,

\[R i(t) + \dfrac{1}{C}\int_{0}^t i(u)\:\text{d}u = e(t)\quad 	(1).\]

Pour déterminer la fonction $i$ on remplace le signal d'entrée $e$ par son développement en série de Fourier tronqué à l'ordre 2. L'équation (1) devient alors:

\[R i(t) + \dfrac{1}{C}\int_{0}^t i(u)\:\text{d}u = \dfrac{1}{\pi} + \dfrac{1}{2}\sin t - \dfrac{2}{3\pi}\cos (2t) \quad 	 (2).\]
On admet que l'intensité $i$ du courant est une fonction dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

On suppose dans toute la suite de l'exercice que $R = \nombre{5000} \Omega$ et $C = 10^{-4}$~F.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation (2) peut alors se transformer et s'écrire :

\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t)	+ 2i(t) = \left(10^{-4} \right)\cos t  + \left(\dfrac{4}{15\pi} \cdot 10^{-3}\right)\sin (2t)\\	
t \in  [0~;~ + \infty[\\
\end{array}\right. \quad (3).\]

\item  Vérifier que la fonction $i_{1}$ telle que $i_{1}(t) = \left(4 \cdot 10^{-5} \right)\cos t + \left(2 \cdot 10^{-5}\right)\sin t$ est une solution particulière de l'équation différentielle
\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t)	+ 2i(t) = \left(10^{-4}\right)\cos t\\
t \in  [0~;~ + \infty[\\
\end{array}\right. \]

\item  Déterminer une solution particulière $i_{2}$ de l'équation différentielle

\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t)	+ 2i(t) = \left(\dfrac{4}{15\pi}\cdot 10^{-3}\right)\sin (2t)\\
t \in  [0~;~ + \infty[\\
\end{array}\right. \]

\item  Résoudre alors l'équation différentielle (3). En déduire la solution particulière vérifiant la condition $i(0) = 0$.
\end{enumerate}
\end{document}
