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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small BTS Cira}
\rhead{\textbf{\tiny S.L.M.}}
\lfoot{\small{Lycée Schuman Perret}}
\rfoot{\small{Janvier 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\doublespacing
\everymath{\displaystyle}


\begin{enumerate}
\item  On a obtenu à l'aide d'une calculatrice:

\[\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos t\:\text{d}t = 0~~\text{et}~~\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos (2t)\:\text{d}t = - \dfrac{2}{3}.\]
Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.

{\red On dispose de la formule de trigonométrie : $\sin(2t) = 2\sin t\cos t$

donc $\ds\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos t\:\text{d}t = \int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{2} \sin t\cos t\:\text{d}t = \left[\dfrac{\sin(2t)}{4}\right] _{0}^{\pi} = 0-0 = 0$

\bigskip

De plus $\cos(2t) = \cos^2(t)-\sin^2(t)$ donc $\cos (2t) = 2\cos^2(t)-1$

D'où : $\ds\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos (2t)\:\text{d}t = \int_{0}^{\pi} 2\cos^2(t)\sin(t)-\sin(t)\:\text{d}t$

\hskip 4.5cm $ = \left[\dfrac{-2}{3}\cos^3(t)+\cos (t)\right]_0^{\pi} = \dfrac{-2}{3}(-1-1)-\dfrac{-2}{3}(0)-1-1 = \dfrac{4}{3}-2 =\dfrac{-2}{3}$

}\bigskip

\item   On considère le signal, modélisé par la fonction réelle $e$, de période $2\pi$, définie par :

    \[\left\{\begin{array}{l c l c l}
    e(t)& =&\sin t& \text{si}& t \in ~[0~;~\pi]\\
    e(t)& =&0&\text{si}& t \in  ~]\pi~;~ 2\pi[.\\
    \end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction $e$ pour $t$ 
        variant dans l'intervalle $[-2 \pi~;~ 4\pi]$.
        
       $$ \psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
        \begin{pspicture*}(-6.3,-1.55)(12.6,1.5)
        \multips(0,-1.0)(0,0.5){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-6.3,0)(12.6,0)}
        \multips(-11,0)(1.57,0){20}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.42)(0,1.6)}
        \psaxes[trigLabels=true,
        trigLabelBase=1,
        dx=\psPi,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.3,-1.45)(12.6,1.45)
        \psplot[linewidth=0.1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed,plotpoints=200]{-6.3}{12.5}{SIN(x)}
        \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{3.1415}{SIN(x)}
        \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.283}{-3.1415}{SIN(x)}
        \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{6.28}{9.42}{SIN(x)}
        \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](-3.14,0)(0,0)
        \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](3.14,0)(6.28,0)
        \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](9.42,0)(12.6,0)
        \rput(3,0.7){\red $e$}
        \end{pspicture*}$$
        
        \item  Calculer les coefficients de Fourier $a_{0}~, a_{1}$ et $a_{2}$ de la fonction $e$. On admettra
        dans la suite de l'exercice que les coefficients $b_{1}$ et $b_{2}$ valent : $b_{1} = \dfrac{1}{2}$ et $b_{2} = 0.$
        
        {\red $a_0 = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \sin(t)dt$ car $f$ est nulle sur $[\pi;2\pi]$ et $2\pi$-périodique.\bigskip
        
        donc $a_0 = \dfrac{1}{2\pi}\left[-\cos(t)\right]_0^{\pi} = \dfrac{1-(-1)}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} $
        
        \bigskip
        
        Puis $a_1 = \dfrac{2}{2\pi}\int_0^{\pi} \cos(t)\sin(t)dt = \dfrac{2}{2\pi}\times 0 = 0$
        
        \bigskip
        
        Enfin $a_2 = \dfrac{2}{2\pi}\int_0^{\pi} \cos(2t)\sin(t)dt = \dfrac{2}{2\pi}\times \dfrac{-2}{3} = \dfrac{-2}{3\pi}$}\bigskip
        
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
    	\item  Calculer le carré $E^2$ de la valeur efficace du signal $e$.
    
        {\red 
        
        On a : $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos (2x)$  donc $1-2\sin^2(x) = \cos(2x)$ 
        
        et finalement $\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$
        
        $E^2 = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \sin^2(x) dx = \dfrac{1}{4\pi}\int_0^{\pi} 1-\cos(2x) dx$
        
        C'est à dire : $E^2 = \dfrac{1}{4\pi}\left[x-\dfrac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi} = \dfrac{1}{4}$
        
        }\bigskip
        
            
        \item On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

        \[E^2	= a_{0}^2 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}.\]
        
        Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2.

        Soit $P$ le nombre défini par : $P=a_{0}^2 +  \dfrac{1}{2}\left(a_{1}^2 + b_{1}^2 + a_{2}^2  +b_{2}^2\right)$.\bigskip

        Calculer P, puis donner une approximation décimale à $10^{-3}$ près du rapport $\dfrac{P}{E^2}$.

        {\red On a: $P=\dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{2}\times\left(0^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{9\pi^2}+0^2\right)$
        
        La calculatrice donne : $P^2\approx 0,249$ donc $\dfrac{P}{E^2}\approx 0,995$} \bigskip

        \emph{La comparaison de $E^2$ et $P$ justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.}
 	
    \end{enumerate}
\end{enumerate}	

\end{document}