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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small BTS Cira}
\rhead{\textbf{\tiny S.L.M.}}
\lfoot{\small{Lycée Robert Schuman}}
\rfoot{\small{mars 2016}}
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\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur exacte de l'intégrale :

\[J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \cos (2t)\:\text{d}t.\]

\item Pour tout nombre entier $n$  supérieur ou égal à 1, on considère l'intégrale :

\[I_{n} =  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \cos (2nt)\:\text{d}t.\]

On admet que : $I_{n} = \dfrac{(- 1)^n - 1}{2n^2}$.

Vérifier, à l'aide de cette formule, le résultat obtenu à la question 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$, périodique de période $\pi$, définie sur l'ensemble des nombres réels par :

\[\left\{\begin{array}{l c l l l}
f(t) &=& 2t &\text{si}&0\leqslant t < \dfrac{\pi}{2}\\
f(t) &=& -2t + 2\pi&\text{si}&   \dfrac{\pi}{2} \leqslant t < \pi.
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Sur la figure 1 de l'annexe 2, tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.

Les coefficients du développement de Fourier de la fonction $f$ sont notés $a_{0},\: a_{n}$ et $b_{n}$ où $n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la parité de la fonction $f$.
		\item En déduire $b_{n}$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a_{0}$.
		\item Montrer, en vous aidant de la partie A, que pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 :

\[a_{n} = \dfrac{2\left[(-1)^n - 1\right]}{\pi n^2}.\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau 1 de l'annexe 2 avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près.
		\item On considère un nombre entier $k$ supérieur ou égal à 1 et on pose :

\[P_{k} = a_{0}^2 + \sum_{n=1}^k \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}.\]

En utilisant les résultats du tableau 1, justifier qu'une valeur approchée de $P_{5}$ à $10^{-4}$ près est \np{3,2893}.
		\item On note $f^2_{\text{eff}}$ le carré de la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période.

On admet que $f^2_{\text{eff}} = \dfrac{\pi^2}{3}$.

À l'aide du tableau 1 et de la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de $k$ telle que :

\[\dfrac{P_{k}}{f^2_{\text{eff}}} > 0,999.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage

\begin{center}{\large \textbf{Annexe 2}}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-0.5)(2,1.6)
%\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\uput[d](-2,0){$-2\pi$} \uput[d](-1.5,0){$-3\pi/2$} \uput[d](-1,0){$-\pi$} \uput[d](-0.5,0){$-\pi/2$}
\uput[d](0.5,0){$\pi/2$} \uput[d](1,0){$\pi$} \uput[d](1.5,0){$3\pi/2$} \uput[d](2,0){$2\pi$}
\uput[l](0,0.5){$\pi/2$} \uput[l](0,1){$\pi$}\uput[l](0,1.5){$3\pi/2$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,0.05)}
\multido{\n=0.0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(0.05,\n)}
\end{pspicture}

\textbf{Figure 1 : représentation graphique de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath (à compléter)}

\vspace{2cm}
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 15pt width 0pt}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\tvi$n$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline%
\tvi$a_{n}$ exacte&&&&&&\\ \hline%
\tvi$\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}$ à $10^{-5}$ près&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Tableau 1 (à compléter) }

\end{center}

\end{document}
