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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small BTS Cira}
\rhead{\textbf{\tiny S.L.M.}}
\lfoot{\small{Lycée Robert Schuman}}
\rfoot{\small{mars 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \cos (2t)\:\text{d}t$

On pose : $u(t) = 2t$ et $v'(t) = \cos (2t)$

On calcule $u'(t) = 2$ et $v(t) = \dfrac{\sin 2t}{2}$

On obtient : $J = \left[2t \dfrac{\sin 2t}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \dfrac{\sin 2t}{2}\:\text{d}t$

C'est à dire : $J = \left[t\sin 2t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t\:\text{d}t$

Puis $J = 0-0-\left[\dfrac{-\cos 2t}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\dfrac{1-(-1)}{2} = -1$

\bigskip

\item $I(1) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \cos (2t)\:\text{d}t = \dfrac{(- 1)^1 - 1}{2\times 1^2} = -1$. Or $J = I(1)$ dont le résultat obtenu précédemment est cohérent.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Figure 1 de l'annexe 2

\psset{unit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-0.5)(2,1.6)
%\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\uput[d](-2,0){$-2\pi$} \uput[d](-1.5,0){$-3\pi/2$} \uput[d](-1,0){$-\pi$} \uput[d](-0.5,0){$-\pi/2$}
\uput[d](0.5,0){$\pi/2$} \uput[d](1,0){$\pi$} \uput[d](1.5,0){$3\pi/2$} \uput[d](2,0){$2\pi$}
\uput[l](0,0.5){$\pi/2$} \uput[l](0,1){$\pi$}\uput[l](0,1.5){$3\pi/2$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,0.05)}
\multido{\n=0.0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(0.05,\n)}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0,0)(0.5,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0.5,1)(1,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](1,0)(1.5,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](1.5,1)(2,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-0.5,1)(-1,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-1,0)(-1.5,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-1.5,1)(-2,0)
\end{pspicture}


	\begin{enumerate}

		\item Déterminer graphiquement la parité de la fonction $f$.

        Le graphe de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc la fonction est paire.


		\item En déduire $b_{n}$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1.

        $f$ est paire, $\sin $ est impaire donc le produit est impaire. Le graphe du produit est donc symétrique par rapport à l'origine 0 du repère. L'intégrale de $f$ sur un intervalle centré en 0 est nulle donc tous les $b_n$ sont nuls.

	\end{enumerate}

\item

	\begin{enumerate}

		\item Déterminer $a_{0}$.

        $a_{0} = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\:\text{d}t$ car $f$ est paire

        donc $a_{0} = \dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t \:\text{d}t = \dfrac{2}{\pi}\Big[t^2\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2}$

		\item $a_{n} = \dfrac{2}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\cos 2nt \:\text{d}t = \dfrac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\cos 2nt \:\text{d}t$ car $f$ est paire

        donc $a_{n} = \dfrac{4}{\pi} I_n = \dfrac{2\left[(-1)^n - 1\right]}{\pi n^2}$

	\end{enumerate}

\item

	\begin{enumerate}

		\item Compléter le tableau 1 de l'annexe 2 avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près.

\def\tvi{\vrule height 20pt depth 15pt width 0pt}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\tvi$n$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline%
\tvi$a_{n}$ exacte&$\frac{-4}{\pi}$&0&$\frac{-4}{9\pi}$&0&$\frac{-4}{25\pi}$&0\\ \hline%
\tvi$\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}$ à $10^{-5}$ près&0,81057&0&0,01001&0&0,00130&0\\ \hline
\end{tabularx}

		\item On a : $P_{5} = a_{0}^2 + \sum_{n=1}^5 \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}$ or en utilisant les résultats du tableau 1 on obtient qu'une valeur approchée à $10^{-4}$ près est \np{3,2893}

		\item Il suffit de prendre $n=3$ pour que $\dfrac{P_{3}}{V_{ef\!\!f}^2} \approx 0,999425>0,999$

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
