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%
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$\bullet$ \quad #2 \hfill
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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ mars 2016}}} %gauche
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\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}


\begin{document}\everymath{\displaystyle }


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = t$ sur $[0;\frac{\pi}{2}[$, \quad  $f(t) = 0$ sur $[\frac{\pi}{2} ; \pi]$; $f$ est impaire et $2\pi$-périodique

\begin{enumerate}

\item Dessiner $f$ sur au moins deux périodes

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-4)(8,4)
\multips(0,-3)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-11.5,0)(11.5,0)}
\multips(-12,0)(1.0,0){30}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-3.7)(0,3.7)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,trigLabels=true,trigLabelBase=2,dx=\psPiH,xunit=\psPi,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.5,-3.7)(2.5,3.7)
\psline[linecolor=red](-3.14,0)(-1.57,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dotted](-1.57,-1.57)(-1.57,0)
\psline[linecolor=red](-1.57,-1.57)(1.57,1.57)
\psline[linecolor=red](1.57,0)(4.71,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dotted](1.57,1.57)(1.57,0)
\psline[linecolor=red](4.71,-1.57)(7.85,1.57)
\psline[linecolor=red,linestyle=dotted](4.71,-1.57)(4.71,0)
\end{pspicture*}

\item Calculer $a_0$ et $V_{eff}^2$

{\red
$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(t)dt$ or $f$ est impaire donc \fbox{$a_0=0$}
}

\bigskip

{\red
$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f^2(t)dt$\qquad car $f^2$ est $2\pi$-périodique

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f^2(t)dt$\qquad car $f^2$ est paire

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^2(t)dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f^2(t)dt\right)$\qquad  d'après la relation de Chasles

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}\pi} t^2 dt + 0\right)$\quad  car $f(t) = \left\{\begin{matrix} t &\text{ sur }[0;\frac{\pi}{2}]\cr 0& \text{ sur }[\frac{\pi}{2};\pi]\end{matrix}\right.$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \left( \left[\dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}\pi}  \right) =\dfrac{1}{\pi}\times \left( \left(\dfrac{\pi^3}{24}-0\right)  \right) =
\fbox{$\dfrac{\pi^2}{24}$}$

}


\item Pour tout $n\in\N^*$, calculer pour tout $n\in\N^*$, $a_n$ et $b_n$

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$a_n = \dfrac{2}{2\pi}\int_{\pi}^{\pi} f(t) \cos nt dt$ car $f$ est une fonction $2\pi$-périodique or $f$ est impaire donc le produit $f\times \sin $ aussi donc $a_n = \fbox{$a_n=0$}$}

\bigskip

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$b_n = \dfrac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin nt dt$ car $f$ est une fonction $2\pi$-périodique

$b_n = \dfrac{1}{\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f(t) \sin nt dt$ car la fonction $f\times\sin$ est paire

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\times \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\sin nt dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(t)\sin nt dt\right)$\qquad  d'après la relation de Chasles

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\times \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} t \sin nt dt + 0\right)$ car $f(t) = \left\{\begin{matrix} t &\text{ sur }[0;\frac{\pi}{2}]\cr 0& \text{ sur }[\frac{\pi}{2};\pi]\end{matrix}\right.$

Intégrons par parties

on pose $u(t) = t$\qquad et \quad $v'(t) = \sin(nt)$

On calcule $u'(t) = 1$\qquad et \quad $v(t) = \dfrac{-\cos(nt)}{n}$

On obtient :

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\times \left(   \left[t\times \frac{-\cos nt}{n}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}  -  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{-\cos nt}{n} dt \right)$

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\times \left(   \left(\dfrac{-\pi \cos n\frac{\pi}{2}}{2n} - 0\right)  -  \left[\dfrac{-\sin nt}{n^2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \right)$

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\times \left(   \dfrac{-\pi \cos n\frac{\pi}{2}}{2n}   -  \dfrac{-\sin n\frac{\pi}{2}}{n^2} \right)$

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\times \left(   \dfrac{-\pi \cos n\frac{\pi}{2}}{2n}   +  \dfrac{\sin n\frac{\pi}{2}}{n^2} \right)$

\fbox{$b_n = \dfrac{- \cos n\frac{\pi}{2}}{n}+  \dfrac{2\sin n\frac{\pi}{2}}{n^2\pi}$}

} %fin du rouge

\vskip 1cm

\item Déterminer le nombre minimal $N$ d'harmoniques à ajouter pour que le carré de la valeur efficace de $S_N$ approche celui de $f$ à $90\%$ près.

{\red On calcule les $b_n$ puis les $b_n^2$\bigskip

On définit $S_N$ par $S_N(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^N a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)$ donc ici : $S_N(t) = \sum\limits_{n=1}^N b_n\sin (nt)$\medskip

Par ailleurs la formule de Parseval appliquée à $S_N$donne $W_{eff}^2 = a_0^2+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^N a_n^2+b_n^2$ 
donc ici $W_{eff}^2 = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^N b_n^2$\medskip

On a déjà calculé $V_{eff}^2 = \dfrac{\pi^2}{24}$ 
donc $\dfrac{W_{eff}^2}{V_{eff}^2}$ sera la moitié de la somme cumulée des $b_n^2$ divisée par ce nombre.\medskip

Cela donne :
} % fin du rouge

\def\taille{\vrule height 20pt depth 15pt width 0pt }

{\red    \begin{tabular}{*{9}{|>{\centering}p{1.5cm}}|}
    \hline
     $n$ & $0$ & $1$ & $2$ &$3$ &$4$ & $5$ & $6$ & $7$\cr
    \hline
     $a_n$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \cr
    \hline
    \taille $b_n$ & $\emptyset$ & $\frac{2}{\pi}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{-2}{9\pi}$&$\frac{-1}{4}$&$\frac{2}{25\pi}$&$\frac16$&$\frac{-2}{49\pi}$\cr
    \hline
    $b_n^2$ à $10^{-3}$ près&Vide&$0,405$&$0,025$&$0,005$&$0,063$&$0,001$&$0,028$&$0,000$\cr
    \hline
    $\dfrac{W_{eff}^2}{V_{eff}^2}$&Vide&$0,493$&$0,900$&$0,803$&$0,879$&$0,880$&$0,913$&$0,914$\cr
    \hline
    \end{tabular}
}
\bigskip

donc \fcolorbox{blue}{white}{\red $S_6(t) =\frac{2}{\pi}\sin t+\frac12 \sin(2t)-\frac{2}{9\pi}\sin (3t)-\frac14 \sin(4t)+\frac{2}{25\pi}\sin (5t)-\dfrac{2}{49\pi}\sin(6t)$}

\bigskip

Le graphe est alors le suivant :

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.751686244408405,-3.1890907741882706)(10.417211030133352,2.8)
\multips(0,-3)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.751686244408405,0)(10.417211030133352,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-3.1890907741882706)(0,2.868621696079024)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.751686244408405,-3.1890907741882706)(10.417211030133352,2.8)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.751686244408405}{10.417211030133352}{2.0/PI*SIN(x)+1.0/2.0*SIN(2.0*x)-2.0/(9.0*PI)*SIN(3.0*x)-1.0/4.0*SIN(4.0*x)+2.0/(25.0*PI)*SIN(5.0*x)+1.0/6.0*SIN(6.0*x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-2.859574102002515,-0.27410131481152733){\red{$g$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}


\end{enumerate}
\end{document}
