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\begin{document}\everymath{\displaystyle}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \pi-t$ sur $[0;\pi]$, paire, \quad $2\pi$-périodique.

\begin{enumerate}

\item Dessiner $f$ sur au moins deux périodes

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.64,-0.9)(13.26,3.64)
\multips(0,-1)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.64,0)(13.26,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.64,-0.9)(13.26,3.64)
\psline[linecolor=red](-3.14,0)(-6.28,3.14)
\psline[linecolor=red](0,3.14)(-3.14,0)
\psline[linecolor=red](0,3.14)(3.14,0)
\psline[linecolor=red](3.14,0)(6.28,3.14)
\psline[linecolor=red](6.28,3.14)(9.42,0)
\psline[linecolor=red](9.42,0)(12.56,3.14)
\end{pspicture*}

\item Calculer $a_0$ et $V_{eff}^2$

\begin{minipage}{0.34\linewidth}

{\red
$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(t)dt$

$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{+\pi} f(t)dt$

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\times \int_{0}^{+\pi} \pi-t dt$

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\times \left[\pi t-\dfrac{t^2}{2}\right]_{0}^{+\pi}$

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\times \dfrac{\pi^2}{2}$

donc \fbox{$a_0 = \dfrac{\pi}{2}$}
}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.66\linewidth}

{\red
$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(t)dt$\qquad car $f^2$ est $2\pi$-périodique

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f^2(t)dt$\qquad car $f$ est paire donc $f^2$ est aussi

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \int_{0}^{\pi} (\pi-t)^2dt$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \int_{0}^{\pi} \pi^2-2\pi t+t^2dt$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \left[\pi^2 t-\pi t^2+\dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{\pi}$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \dfrac{\pi^3}{3}$

\fbox{$V_{eff}^2=\dfrac{\pi^2}{3}$}

}

\end{minipage}

\item Pour tout $n\in\N^*$, calculer pour tout $n\in\N^*$, $a_n$ et $b_n$

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$a_n = \dfrac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos nt dt$ car $f$ est une fonction $2\pi$-périodique

Or $f$ est paire et $\cos$ est paire donc leur produit est pair.

donc $a_n = \dfrac{2}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f(t) \cos nt dt$

puis $a_n = \dfrac{2}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} \pi-t \cos nt dt$

\bigskip

Intégrons $\int_0^{\pi} (\pi-t) \cos nt dt$\quad  par parties

On pose $u(t) =  \pi-t$ \quad et \quad $v'(t) = \cos nt$

On calcule $u'(t) = -1$ \quad et \quad $v(t) = \dfrac{\sin nt}{n}$

\bigskip

On obtient : $\int_0^{\pi} (\pi-t) \cos nt dt = \left[(\pi-t)\times \dfrac{\sin nt}{n}\right]_0^{\pi}\quad  - \quad \int_0^{\pi} -1\times \dfrac{\sin nt}{n} dt $

donc $\int_0^{\pi} (\pi-t) \cos nt dt = 0 - 0 \quad  + \quad \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\sin nt dt $

puis $\int_0^{\pi} (\pi-t) \cos nt dt = \frac{1}{n}\left[\dfrac{-\cos nt}{n}\right]_0^{\pi}$

puis $\int_0^{\pi} (\pi-t) \cos nt dt = -\frac{1}{n^2}\left(-\cos (n\pi)+1\right) $

donc $\int_0^{\pi} t \cos nt dt = -\frac{1}{n^2}\left(1-(-1)^n\right) $

\bigskip

Donc  $a_n = \dfrac{2}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} (\pi-t) \cos nt dt = \dfrac{2}{\pi}\times -\frac{1}{n^2}\left(1-(-1)^n\right) $

\fbox{$a_n = \dfrac{2(1-(-1)^n)}{n^2\pi}$}}

\bigskip

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin nt dt$ car $f$est une fonction $2\pi$-périodique

Or $f$ est paire et $\sin$ est impaire donc leur produit est impair.

L'intégrale sur un intervalle centré en 0 est donc nulle. On donc \fbox{$b_n=0$}}




\item Expliciter $S_5(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^{5} a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t$

\def\taille{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

{\red    \begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}p{1cm}}|}
    \hline
    \taille $n$ & $0$ & $1$ & $2$ &$3$ &$4$ & $5$\cr
    \hline
    \taille $a_n$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\frac{4}{\pi}$ & $0$ & $\frac{4}{9\pi}$ & $0$ & $\frac{4}{25\pi}$ \cr
    \hline
    \taille $b_n$ & $\emptyset$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$\cr
    \hline
    \end{tabular}
}
\bigskip

donc \fcolorbox{blue}{white}{\red $S_5(t) =\dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{4}{\pi}\cos (t)+\dfrac{4}{9\pi}\cos (3t)+\dfrac{4}{25\pi}\cos (5t)$}

\vskip 1cm

Le graphe est alors le suivant :

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.64,-0.9)(13.26,3.64)
\multips(0,-1)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.64,0)(13.26,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.64,-0.9)(13.26,3.64)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-3.1}{15.806359958634163}{PI/2+4.0/PI*COS(x)+4.0/(9*PI)*COS(3*x)+4.0/(25*PI)*COS(5*x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1,2){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{enumerate}


\end{document}
