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\begin{document}\everymath{\displaystyle}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = t$ sur $]0;\pi[$, \quad impaire et $2\pi$-périodique et $f(k\pi)=0$ pour tout $k\in\Z$

\begin{enumerate}

\item Dessiner $f$ sur au moins deux périodes

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.64,-3.64)(13.26,3.64)
\multips(0,-4)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.64,0)(13.26,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.64,-3.64)(13.26,3.64)
\psline[linecolor=red](-3.14,-3.14)(3.14,3.14)
\psline[linecolor=red](3.14,-3.14)(9.42,3.14)
\psline[linecolor=red](9.42,-3.14)(12.56,0)
\end{pspicture*}

\item Calculer $a_0$ et $V_{eff}^2$

\begin{minipage}{0.34\linewidth}

{\red
$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(t)~\text{d}t$

or $f$ est impaire

donc \fbox{$a_0 = 0$}
}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.66\linewidth}

{\red
$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(t)~\text{d}t$\qquad car $f^2$ est $2\pi$-périodique

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f^2(t)~\text{d}t$\qquad car $f$ est impaire donc $f^2$ est paire

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \int_{0}^{\pi} t^2~\text{d}t$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \left[\dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{\pi}$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \dfrac{\pi^3}{3}$

\fbox{$V_{eff}^2=\dfrac{\pi^2}{3}$}

}

\end{minipage}


\item Pour tout $n\in\N^*$, calculer pour tout $n\in\N^*$, $a_n$ et $b_n$

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$a_n = \dfrac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos nt ~\text{d}t$ car $f$ est une fonction $2\pi$-périodique

Or $f$ est impaire et $\cos$ est paire donc leur produit est impair.

L'intégrale sur un intervalle centré en 0 est nulle.

\fbox{$a_n = 0$}}

\bigskip

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$a_n = \dfrac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos nt ~\text{d}t$ car $f$ est une fonction $2\pi$-périodique

Or $f$ est impaire et $\sin$ est impaire donc leur produit est pair.

Donc $b_n = \dfrac{2}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f(t) \sin nt ~\text{d}t$

Intégrons $\int_0^{\pi} t \sin nt ~\text{d}t$\quad  par parties

On pose $u(t) = t$ \quad et \quad $v'(t) = \sin nt$

On calcule $u'(t) = 1$ \quad et \quad $v(t) = \dfrac{-\cos nt}{n}$

On obtient : $\int_0^{\pi} t \sin nt dt = \left[t\times \dfrac{-\cos nt}{n}\right]_0^{\pi}\quad  - \quad \int_0^{\pi} 1\times \dfrac{-\cos nt}{n} ~\text{d}t $

donc $\int_0^{\pi} t \sin nt dt = \left(\pi\times \dfrac{-\cos n\pi}{n}\quad - \quad 0\right)\quad  + \quad \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos nt ~\text{d}t $

puis $\int_0^{\pi} t \sin nt dt = \frac{\pi(-(-1)^n)}{n}\quad  + \quad \frac{1}{n}\left[\dfrac{\sin nt}{n}\right]_0^{\pi}$

puis $\int_0^{\pi} t \sin nt dt = \frac{\pi((-1)^{n+1}}{n} \quad  + \quad 0-0$

\bigskip

Donc $b_n = \dfrac{2}{2\pi}\times 2\times \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n}$

C'est à dire \fbox{$b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$}}




\item Expliciter $S_5(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^{5} a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t$

\def\taille{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

{\red    \begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}p{1cm}}|}
    \hline
    \taille $n$ & $0$ & $1$ & $2$ &$3$ &$4$ & $5$\cr
    \hline
    \taille $a_n$ & $\frac{\pi}{2}$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \cr
    \hline
    \taille $b_n$ & $\emptyset$ & $2$ & $-1$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{-1}{2}$&$\frac{2}{5}$\cr
    \hline
    \end{tabular}
}
\bigskip

donc \fcolorbox{blue}{white}{\red $S_5(t) =2\sin t-\sin(2t)+\dfrac{1}{3}\sin(3t)-\dfrac12\sin4t+\dfrac{2}{5}\sin(5t)$}

\vskip 1cm

Le graphe est alors le suivant :

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.64,-3.64)(13.26,3.64)
\multips(0,-4)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.64,0)(13.26,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.64,-3.64)(13.26,3.64)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-3.1}{15.806359958634163}{2*SIN(x)-SIN(2.0*x)+2.0/3*SIN(3.0*x)-1.0/2*SIN(4.0*x)+2.0/5*SIN(5.0*x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1,2){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{enumerate}


\end{document}
