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\begin{document}\everymath{\displaystyle}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = t$ sur $]0;\pi[$, \quad   paire, \quad $2\pi$-périodique.

\begin{enumerate}

\item Dessiner $f$ sur au moins deux périodes

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.64,-0.9)(9.26,3.5)
\multips(0,-1)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.64,0)(9.26,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.72)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.64,-0.72)(9.26,3.5)
\psline[linecolor=red](0.,0)(3.14,3.14)
\psline[linecolor=red](3.14,3.14)(6.28,0)
\psline[linecolor=red](6.28,0)(9.42,3.14)
\psline[linecolor=red](0.,0)(-3.14,3.14)
\psline[linecolor=red](-3.14,3.14)(-6.28,0)
\end{pspicture*}

\item Calculer $a_0$ et $V_{eff}^2$

\begin{minipage}{0.34\linewidth}

{\red
$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(t)dt$

$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{+\pi} f(t)dt$

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\times \int_{0}^{+\pi} t dt$

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\times \left[\dfrac{t^2}{2}\right]_{0}^{+\pi}$

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\times \dfrac{\pi^2}{2}$

donc \fbox{$a_0 = \dfrac{\pi}{2}$}
}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.66\linewidth}

{\red
$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(t)dt$\qquad car $f^2$ est $2\pi$-périodique

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f^2(t)dt$\qquad car $f$ est paire donc $f^2$ est aussi

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \int_{0}^{\pi} t^2dt$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \left[\dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{\pi}$

$V_{eff}^2=\dfrac{1}{\pi}\times \dfrac{\pi^3}{3}$

\fbox{$V_{eff}^2=\dfrac{\pi^2}{3}$}

}

\end{minipage}


\item Pour tout $n\in\N^*$, calculer pour tout $n\in\N^*$, $a_n$ et $b_n$

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$a_n = \dfrac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos nt dt$ car $f$ est une fonction $2\pi$-périodique

Or $f$ est paire et $\cos$ est paire donc leur produit est pair.

$a_n = \dfrac{2}{2\pi}\times 2\times \int_{0}^{\pi} f(t) \cos nt dt$

Intégrons $\int_0^{\pi} t \cos nt dt$\quad  par parties

On pose $u(t) = t$ \quad et \quad $v'(t) = \cos nt$

On calcule $u'(t) = 1$ \quad et \quad $v(t) = \dfrac{\sin nt}{n}$

On obtient : $\int_0^{\pi} t \cos nt dt = \left[t\times \dfrac{\sin nt}{n}\right]_0^{\pi}\quad  - \quad \int_0^{\pi} 1\times \dfrac{\sin nt}{n} dt $

donc $\int_0^{\pi} t \cos nt dt = \left(\pi\times \dfrac{\sin n\pi}{n}\quad - \quad 0\right)\quad  - \quad \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\sin nt dt $

puis $\int_0^{\pi} t \cos nt dt = 0\quad-\quad\frac{1}{n}\left[\dfrac{-\cos nt}{n}\right]_0^{\pi}$

puis $\int_0^{\pi} t \cos nt dt = -\quad\frac{1}{n}\left(\dfrac{-\cos n\pi+1}{n}\right) $

donc $\int_0^{\pi} t \cos nt dt = -\frac{1}{n^2}\left(1-(-1)^n\right) $

\bigskip

\fbox{$a_n = \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi}$}}

\bigskip

{\red Pour tout $n\in\N^*$, on a :

$b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin nt dt$ car $f$est une fonction $2\pi$-périodique

Or $f$ est paire et $\sin$ est impaire donc leur produit est impair.

L'intégrale sur un intervalle centré en 0 est donc nulle. On donc \fbox{$b_n=0$}}


\item Expliciter $S_5(t) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^{5} a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t$

\def\taille{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

{\red    \begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}p{1cm}}|}
    \hline
    \taille $n$ & $0$ & $1$ & $2$ &$3$ &$4$ & $5$\cr
    \hline
    \taille $a_n$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\frac{4}{\pi}$ & $0$ & $\frac{4}{9\pi}$ & $0$ & $\frac{4}{25\pi}$ \cr
    \hline
    \taille $b_n$ & $\emptyset$ & 0&0&0&0&0\cr
    \hline
    \end{tabular}
}
\bigskip

donc \fcolorbox{blue}{white}{\red $S_5(t) =\dfrac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\cos t-\frac{4}{9\pi}\cos (3t)-\frac{4}{25\pi}\cos (5t)$}

\vskip 1cm

Le graphe est alors le suivant :

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.519689916053089,-0.9)(15.8,3.5)
\multips(0,-1.0)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.519689916053089,0)(15.806359958634163,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.7402953628565263)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.519689916053089,-0.7402953628565263)(15.806359958634163,3.5)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.519689916053089}{15.806359958634163}{PI/2.-4.0/PI*COS(x)-4.0/(9.0*PI)*COS(3.0*x)-4.0/(25.0*PI)*COS(5.0*x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1,2){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{enumerate}


\end{document}
