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\newcommand{\N}{\mathds{N}}
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\def\ds{\displaystyle}

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\usepackage{fancyhdr}
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\fancyhf{}

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\def\monnumero{2}
\def\madate{Décembre 2025}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle No~\monnumero}}}}}
\rhead{\footnotesize NOM : \hskip 3cm~\\ \textsf{Cira\textsuperscript{2}}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\setcounter{nexo}{0}

\newcommand{\exo}{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip 0.3cm
	\par\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\quad
}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

% extrait de BTS 2005
\exo On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par
: 
\[\left\{
\begin{aligned}
	U(t)&=0\quad\text{si } t < 0\\
	U(t)&=1\quad\text{si } t \geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\]

Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur
l'intervalle $]-\infty\,;\,0[$.

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres
	réels par :
	
	\[e(t)=4\left[U(t)-U(t-2)\right]\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $e$ dans un repère orthonormal.
		\item On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$.\\
		Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate}
	\item On considère la fonction $s$ telle que
	
	\[4s'(t)+s(t)=e(t)\quad\text{et}\quad s(0)=0\]
	
	On admet que la fonction $s$ admet une transformée de Laplace, notée $S$.\\
	Démontrer que :
	
	\[S(p)=\dfrac{1}{p\left(p +\dfrac{1}{4}\right)}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\]
	
	\item Déterminer les réels $A$ et $B$ tels que :
	
	\[\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{A}{p}+\dfrac{B}{p+\dfrac{1}{
			4}}\]
	
	\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous dans lequel $f$ représente la fonction causale associée à $F$ :
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&&&&\\
			$F(p)$&$\dfrac{1}{p}$&$\dfrac{1}{p}\times\text{e}^{-2p}$&$\dfrac{1}{p+\dfrac{1}{4}}$&$\dfrac{1}{
				p+\dfrac{1}{4}}\times\text{e}^{-2p}$\\
			&&&&\\\hline
			\tvi $f(t)$&&&&\\\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $s(t)$, $t$ désignant un nombre réel quelconque.
		\item Vérifier que :
		
		\[\left\{\begin{aligned}
			s(t)&=0 & \text{si }&t < 0\\
			s(t)&=4-4\text{e}^{-\frac{t}{4}} & \text{si }&0\leqslant t < 2\\
			s(t)&=4\text{e}^{-\frac{t}{4}}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}-1\right) & \text{si }&t\geqslant 2
		\end{aligned}
		\right.\]
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage\onehalfspacing

% extrait de BTS 2010
\exo On considère un système physique dont l'état est modélisé par la fonction $y$ de la variable réelle $t$, solution de l'équation différentielle :

\[y''(t) + 4y(t) = e(t) \qquad	(1),\]

où la fonction $e$ représente une contrainte extérieure au système.

On étudie un moyen d'amener le système vers un état d'équilibre de manière \og  lisse \fg.

À cette fin on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction $e$ définie  par:

\[e(t)\; =\; 8\times t\times U(t)\;-\; 8\times (t - \tau)\times U(t - \tau).\]

où $\tau$ désigne un nombre réel strictement positif et $U$ la fonction échelon unité.

Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$.

On appelle $g$ la fonction causale telle que : 

\[g''(t) + 4g(t) = e(t) \]

et vérifiant : $g(0) = 0 ~\text{et}~ g'(0)= 0.$\medskip

On note $G(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $g$ et $E(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. 
\begin{enumerate}
	\item Exprimer $E(p)$ en fonction de $p$ et de $\tau$. 
	\item En déduire que : $G(p) = \dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}\left(1 - \text{e}^{- \tau p} \right).$
	
	\item  Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ telles que : $\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p^2 + 4}.$
	
	\item  Déterminer alors l'original de $\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}$. 
	
	\item  En déduire que, pour tout nombre $t$, on a : $g(t) = g_{0}(t) - g_{0} (t - \tau)$
	
	
	avec \qquad $g_{0}(t) = (2t - \sin(2t)) U(t).$
	
	\item  Montrer que pour $t \geqslant  \tau$, on a : $g(t) = 2\tau - \sin (2t) + \sin (2t- 2\tau).$
	\item  On suppose maintenant que $\tau  = \pi.$,  simplifier l'expression de $g(t)$ pour $t \geqslant \tau$. 
\end{enumerate}


\end{document}
