\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\taille{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\setlength\parindent{0pt}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm
	

\boxit{4pt}{Minitest N°8 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip

 En indiquant les étapes de calcul et en rédigeant résoudre :.\bigskip

{\blue ~$(E_1)$\qquad $2y'-3y = 12$ et $y(0) = 7$}

\medskip

{\red Etape 1 }  :
On recherche toutes les solutions de l'équation homogène associée.

$ a= 2 $ et $ b= -3 $ donc $ F'(t) = \dfrac{b}{a} = \frac{-3}{2}  $  Une primitive est alors $ F(t) =  \frac{-3}{2} t + 0$ 

Toutes les solutions sont les $ y(t) = C e^{-F(t)}    = Ce^{\frac{3}{2} t} $ où $ C $ est une constante réelle quelconque.\bigskip

\bigskip

{\red Etape 2 }  : On recherche une solution particulière de l'équation complète.

Le second membre est une constante donc on recherche une solution particulière $ y_p $ sous la forme d'une constante.\bigskip

Dans ce cas $ y_p(t) = K $ donc $ y_p'(t) = 0 $. L'équation devient : $ 2 \times 0 -3 \times K = 12 $ donc $ K = -4 $ \bigskip

Une solution particulière de l'équation avec second membre est alors $ y_p(t) = -4 $ \bigskip

\bigskip

{\red Etape 3 }  : $ y $ est une solution de l'équation équivaut à  $ y - y_p $ est une solution de (SSM)

donc toutes les solutions de l'équation complète sont les sommes : $ y(t)    = Ce^{\frac{3}{2} t}  -4 $ \bigskip

\bigskip

{\red Etape 4 }  : Puisque  $ y(0) = 7 $ on a : $ 7 = C e^0 -4 $  donc $ C = 11 $ \bigskip

L'unique solution du problème est alors $ \fbox{ $ y(t) = 11e^{ \frac{3}{2}  t }  -4 $  } $ \bigskip


\vskip2cm

{\blue ~$(E_2)$\qquad $y''+10y'+25y=0$}\bigskip

 {\red Etape 1 }  :
Son équation caractéristique est : $(EC) : r^2+10r+25 = 0 $ \bigskip

Son discriminant est $\Delta =  10^2-4\times 1\times 25 = 0 $ 

(EC) a une racine $ r_0 = \frac{-10}{2} $ C'est à dire $ r_0 = -5 $ 

Toutes les solutions de l'équation différentielle sont les :  \fbox{$ y(t) = \Big( C_1\times t + C_2\Big) \times e^{-5 t} $}

où $ C_1 $ et $ C_2 $ sont des constantes réelles quelconques.\bigskip


\newpage\singlespacing

\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm


\boxit{4pt}{Minitest N°8 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip

 En indiquant les étapes de calcul et en rédigeant résoudre :.\bigskip

{\blue ~$(E_1)$\qquad $3y'+2y = 12$ et $y(0) = 7$}\medskip

 {\red Etape 1 }  : On recherche toutes les solutions de l'équation homogène associée.

$ a= 3 $ et $ b= 2 $ donc $ F'(t) = \dfrac{b}{a} = \frac{2}{3}  $. Une primitive est alors $ F(t) =  \frac{2}{3} t + 0$ 


Toutes les solutions sont les $ y(t) = C e^{-F(t)}    = Ce^{\frac{-2}{3} t} $ où $ C $ est une constante réelle quelconque.\bigskip


{\red Etape 2 }  : On recherche une solution particulière de l'équation complète.

Le second membre est une constante donc on recherche une solution particulière $ y_p $ sous la forme d'une constante.\bigskip

Dans ce cas $ y_p(t) = K $ donc $ y_p'(t) = 0 $. L'équation devient : $ 3 \times 0 +2 \times K = 12 $ donc $ K = 6 $ \bigskip

Une solution particulière de l'équation avec second membre est alors $ y_p(t) = 6 $ \bigskip

\bigskip

{\red Etape 3 }  :
$ y $ est une solution de l'équation équivaut à  $ y - y_p $ est une solution de (SSM)

donc toutes les solutions de l'équation complète sont les sommes : $ y(t)    = Ce^{\frac{-2}{3} t}  +6 $ \bigskip

\bigskip

{\red Etape 4 }  :
Puisque  $ y(0) = 7 $ on a : $ 7 = C e^0 +6 $  donc $ C = 1 $ \bigskip

L'unique solution du problème est alors $ \fbox{ $ y(t) = e^{ \frac{-2}{3}  t }  +6 $  } $ \bigskip

\vskip 2cm

{\blue ~$(E_2)$\qquad $y''-7y'+10y=0$}\bigskip

 {\red Etape 1 }  :
Son équation caractéristique est : $(EC) : r^2-7r+10 = 0 $ \bigskip

Son discriminant est $\Delta =  (-7)^2-4\times 1\times 10 = 9  > 0 $ 

Une racine de $ \Delta $ est alors $ 3 $ 

(EC) a deux solutions $ r_1 = \frac{7- 3}{2} $ et $ r_2 = \frac{7+ 3}{2} $ 

C'est à dire $ r_1 = 2 $ et $ r_2= 5 $ 

Toutes les solutions de l'équation sans second membre sont alors les :  \fbox{$ y(t) = C_1  e^{2 t} + C_2  e^{5 t} $ }

où $ C_1 $ et $ C_2 $ sont des constantes réelles quelconques.\bigskip





\newpage\singlespacing

\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm


\boxit{4pt}{Minitest N°8 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip

En indiquant les étapes de calcul et en rédigeant résoudre :.\bigskip

{\blue ~$(E_1)$\qquad $4y'+7y = 5$ et $y(0) = 2$}\medskip

 {\red Etape 1 }  : On recherche toutes les solutions de l'équation homogène associée.

$ a= 4 $ et $ b= 7 $ donc $ F'(t) = \dfrac{b}{a} = \frac{7}{4}  $ Une primitive est alors $ F(t) =  \frac{7}{4} t + 0$ 


Toutes les solutions sont les $ y(t) = C e^{-F(t)}    = Ce^{\frac{-7}{4} t} $ où $ C $ est une constante réelle quelconque.\bigskip



{\red Etape 2 }  : On recherche une solution particulière de l'équation complète.

Le second membre est une constante donc on recherche une solution particulière $ y_p $ sous la forme d'une constante.\bigskip

Dans ce cas $ y_p(t) = K $ donc $ y_p'(t) = 0 $. L'équation devient : $ 4 \times 0 +7 \times K = 5 $ donc $ K =  \frac{5}{7}  $ \bigskip

Une solution particulière de l'équation avec second membre est alors $ y_p(t) =  \frac{5}{7}  $ \bigskip

\bigskip

{\red Etape 3 }  :
$ y $ est une solution de l'équation équivaut à  $ y - y_p $ est une solution de (SSM)

donc toutes les solutions de l'équation complète sont les sommes : $ y(t)    = Ce^{\frac{-7}{4} t}   +\frac{5}{7}  $ \bigskip



{\red Etape 4 }  :
Puisque  $ y(0) = 2 $ on a : $ 2 = C e^0  +\frac{5}{7}  $  donc $ C =  \frac{9}{7}  $ \bigskip

L'unique solution du problème est alors $ \fbox{ $ y(t) =  \frac{9}{7} e^{ \frac{-7}{4}  t }   +\frac{5}{7}  $  } $ \bigskip






{\blue ~$(E_2)$\qquad $y''+8y'+16y=0$}\bigskip

{\red Etape 1 }  :
Son équation caractéristique est : $(EC) : r^2+8r+16 = 0 $ \bigskip

Son discriminant est $\Delta =  8^2-4\times 1\times 16 = 0 $ 

(EC) a une racine $ r_0 = \frac{-8}{2} $ C'est à dire $ r_0 = -4 $ 

Toutes les solutions de l'équation différentielle sont les :  \fbox{$ y(t) = \Big( C_1\times t + C_2\Big) \times e^{-4 t} $ }

où $ C_1 $ et $ C_2 $ sont des constantes réelles quelconques.\bigskip


\end{document} 