\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\boxit#1#2{\leavevmode\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1 \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1
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\def\tvi{\vrule height 15pt depth  5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\taille{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm
	

\boxit{4pt}{Minitest N°7 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{corrigé}\medskip

 En indiquant les étapes de calcul et en donnant les résultats sous forme algébrique.\bigskip

$\square~$ Résoudre les équations suivantes : 

$z^2+25 = 0$\qquad {\red $\begin{cases}a=1\\b=0\\c=25\end{cases}$ donc $\Delta= 0^2-4\times 1\times 25 = -100<0$, il y a donc deux solutions\\ complexes conjuguées : $z_1 = \dfrac{-0-i\sqrt{+100}}{2\times 1} = -5i$\quad et\quad $z_2 = +5i$\hfil$S=\{-5i;+5i\}$}\\

$z^2+4z+5 = 0$\qquad {\red $\begin{cases}a=1\\b=4\\c=5\end{cases}$ donc $\Delta= 4^2-4\times 1\times 5 = -4<0$, il y a donc deux solutions\\ complexes conjuguées : $z_1 = \dfrac{-4-i\sqrt{+4}}{2\times 1} = -2-i$\quad et\quad $z_2 = -2+i$\hfil$S=\{-2-i;-2+i\}$}\\

$3z^2+5z-8 = 0$\qquad {\red $\begin{cases}a=3\\b=5\\c=-8\end{cases}$ donc $\Delta= 5^2-4\times 3\times (-8) = 121>0$, il y a donc deux solutions\\ réelles : $z_1 = \dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times 3} = \dfrac{-16}{6}= \dfrac{-8}{3}$\quad et\quad $z_2 = \dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times 3} = \dfrac{6}{6}= 1$ \hfil $S=\{\frac{-8}{3};1\}$}\\

\vskip 1cm

Déterminer les modules et les arguments de $z_1 = -1+i$, de $z_2 = \sqrt{3}-i$ et de $z_3 = \dfrac{z_1}{z_2}$


{\red  $\bullet\quad |-1+i| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}$ puis $\begin{cases}\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2}\\\\\sin\theta= \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$\\
	
\qquad le cercle trigonométrique donne $\theta = \frac{3\pi}{4}$ donc $z=\left[\sqrt{2};\frac{3\pi}{4}\right]$ }

\vskip 1cm

{\red  $\bullet\quad |\sqrt{3}-i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2$ puis $\begin{cases}\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\\sin\theta= \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{cases}$\\
	
	\qquad le cercle trigonométrique donne $\theta = \frac{-\pi}{6}$ donc $z=\left[2;\frac{-\pi}{6}\right]$ }

\vskip 1cm

{\red  $\bullet\quad \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$\quad  et\quad  $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2) = \dfrac{3\pi}{4}-\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) = \dfrac{11\pi}{12}$\\
	
	\qquad donc $\dfrac{z_1}{z_2} = \left[\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{11\pi}{12}\right]$}
	
\newpage

\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm


\boxit{4pt}{Minitest N°7 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip

En indiquant les étapes de calcul et en donnant les résultats sous forme algébrique.\bigskip


$\square~$ Résoudre les équations suivantes : 

$z^2-25 = 0$\qquad {\red $\begin{cases}a=1\\b=0\\c=-25\end{cases}$ donc $\Delta= 0^2-4\times 1\times (-25) = 100>0$, il y a donc deux solutions\\ réelles : $z_1 = \dfrac{-0-\sqrt{+100}}{2\times 1} = -5$\quad et\quad $z_2 =\dfrac{-0-\sqrt{+100}}{2\times 1} = 5$ \hfil$S=\{-5;+5\}$}\\

$z^2+6z+9 = 0$ \qquad {\red $\begin{cases}a=1\\b=6\\c=9\end{cases}$ donc $\Delta= 6^2-4\times 1\times 9 = 36-36=0$, il y a donc une solution\\ réelle : $z_0 = \dfrac{-6}{2\times 1} = -3$ \hfil$S=\{-3\}$}\\

$3z^2-6z+6 = 0$\qquad {\red $\begin{cases}a=3\\b=-6\\c=6\end{cases}$ donc $\Delta= (-6)^2-4\times 3\times 6 = -36<0$, il y a donc deux solutions\\ complexes conjuguées : $z_1 = \dfrac{-(-6)-i\sqrt{+36}}{2\times 3} = \dfrac{6-6i}{6}=1-i$\quad et\quad $z_2 = 1+i$ \hfil $S=\{1-i;1+i\}$}\\

\vskip 1cm

Déterminer les modules et les arguments de $z_1 = 1-i$, de $z_2 = -\sqrt{3}-i$ et de $z_3 = \dfrac{z_2}{z_1}$

{\red  $\bullet\quad |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}$ puis $\begin{cases}\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\\\\sin\theta= \frac{-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{-2}}{2}\end{cases}$\\
	
	\qquad le cercle trigonométrique donne $\theta = \frac{-\pi}{4}$ donc $z=\left[\sqrt{2};\frac{-\pi}{4}\right]$ }

\vskip 1cm

{\red  $\bullet\quad |-\sqrt{3}-i| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2$ puis $\begin{cases}\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} \\\\\sin\theta= \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{cases}$\\
	
	\qquad le cercle trigonométrique donne $\theta = \frac{-5\pi}{6}$ donc $z=\left[2;\frac{-5\pi}{6}\right]$ }

\vskip 1cm

{\red  $\bullet\quad \left|\dfrac{z_2}{z_1}\right| = \dfrac{|z_2|}{|z_1|} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$\quad  et\quad  $\arg\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right) = \arg(z_2)-\arg(z_1) = \dfrac{-5\pi}{6}-\left(\dfrac{-\pi}{4}\right) = \dfrac{-7\pi}{12}$\\

\qquad donc $\dfrac{z_2}{z_1} = \left[\sqrt{2};\frac{-7\pi}{12}\right]$}



\end{document} 