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\def\taille{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }


\begin{document}
\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm
	

\boxit{4pt}{Minitest N°6 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip

 En indiquant les étapes de calcul et en donnant les résultats sous forme algébrique.\bigskip

\onehalfspacing

$\square~$ Lorsque $z_1 = 1+2i$ et $z_2 = 2+3i$, calculer

$z_1+z_2={\red 1+2i+2+3i= 3+5i}$\vskip 0.5cm

$z_1-z_2={\red 1+2i-2-3i = -1-i}$\vskip 0.5cm

$z_1\times z_2={\red (1+2i)(2+3i) = 2+3i+4i-6 = -4+7i}$\vskip 0.5cm

$\dfrac{1}{z_2}={\red\dfrac{1\times (2-3i)}{2+3i)(2-3i)} = \dfrac{2-3i}{13} = \dfrac{2}{13}-\dfrac{3}{13}i}$\vskip 0.5cm

$z_1^2= (1+2i)^2 = {\red 1+2\times 1\times 3i+(2i)^2 = 1+4i-4 = -3+4i}$\vskip 0.5cm

$\square~$ Résoudre les équations suivantes : 

$z^2+16 = 0$\vskip 0.2cm

\qquad{\red $\begin{cases}a=1\\b = 0\\c=16\end{cases}$ donc $\Delta= 0^2-4\times 1\times 16 = -64<0$

il y a deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \dfrac{-0-i\sqrt{64}}{2} = -4i$ et $z_2 = +4i$}

\bigskip

$z^2+2z+2 = 0$\vskip 0.2cm

\qquad{\red $\begin{cases}a=1\\b = 2\\c=2\end{cases}$ donc $\Delta= 2^2-4\times 1\times 2 = 4-8 = -4<0$
	
	il y a deux solutions complexes conjuguées : \medskip
	
	$z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \dfrac{-2-i\sqrt{4}}{2} = \dfrac{-2-2i}{2} = -1-i$ et $z_2 = -1+i$}

\bigskip

$2z^2+5z-7 = 0$\vskip 0.2cm

\qquad{\red $\begin{cases}a=2\\b = 5\\c=-7\end{cases}$ donc $\Delta= 5^2-4\times 2\times (-7) = 25+56 = 81 >0$\medskip
	
	il y a deux solutions réelles : \medskip
	
	$z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5-\sqrt{81}}{4} = \dfrac{-5-9}{4} = -\dfrac72$ et $z_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5+\sqrt{81}}{4} = \dfrac{-5+9}{4} = \dfrac44 = 1$}

\bigskip

$\square~$ Lorsque $z=2-3i$ écrire sous forme algébrique : 

 l'opposé de $z$ est {\red $-z = -2+3i$}\hfil l'inverse de $z$ est {\red$\dfrac1z = \dfrac{1}{2-3i} = \dfrac{2+3i}{13}$} \hfil

\bigskip

 le conjugué de $z$ est {\red $\bar{z} = 2+3i$}\hfil le module de $z$ est {\red$|z| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$}\hfil
\vskip 3.5cm


\newpage\singlespacing

\thispagestyle{empty}	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm


\boxit{4pt}{Minitest N°6 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip

En indiquant les étapes de calcul et en donnant les résultats sous forme algébrique.\bigskip

\onehalfspacing

$\square~$ Lorsque $z_1 = 1+2i$ et $z_2 = 2+3i$, calculer

$z_1-z_2={\red 1+2i-2-3i = -1-i}$\vskip 0.5cm

$z_1+z_2={\red 1+2i+2+3i = 3+5i}$\vskip 0.5cm

$z_2\times z_1={\red (1+2i)(2+3i) = 2+3i+4i-6 = -4+7i}$\vskip 0.5cm

$\dfrac{1}{z_1}={\red \dfrac{1\times(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \dfrac{1-2i}{5} = \dfrac15-\dfrac25i}$\vskip 0.5cm

$z_2^2= {\red (2+3i)^2 = 4+2\times2\times3i = (3i)^2 = 4+12i-9 = -5+12i}$\vskip 0.5cm

$\square~$ Résoudre les équations suivantes : 

$z^2+9 = 0$\vskip 0.2cm

\qquad{\red $\begin{cases}a=1\\b = 0\\c=9\end{cases}$ donc $\Delta= 0^2-4\times 1\times 9 = -36<0$
	
	il y a deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \dfrac{-0-i\sqrt{36}}{2} = -3i$ et $z_2 = +3i$}

\bigskip

$z^2-2z+2 = 0$\vskip 0.2cm

\qquad{\red $\begin{cases}a=1\\b = -2\\c=2\end{cases}$ donc $\Delta= (-2)^2-4\times 1\times 2 = 4-8 = -4<0$
	
	il y a deux solutions complexes conjuguées : \medskip
	
	$z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \dfrac{2-i\sqrt{4}}{2} = \dfrac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$}

\bigskip

$2z^2-5z-7 = 0$\qquad{\red $\begin{cases}a=2\\b = -5\\c=-7\end{cases}$ donc $\Delta= (-5)^2-4\times 2\times (-7) = 25+56 = 81 >0$\medskip
	
	il y a deux solutions réelles : \medskip
	
	$z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5-\sqrt{81}}{4} = \dfrac{5-9}{4} = -1$ et $z_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5+\sqrt{81}}{4} = \dfrac{5+9}{4} = \dfrac72$}

\bigskip

\bigskip

$\square~$ Lorsque $z=-2+3i$ écrire sous forme algébrique : 

l'opposé de $z$ est {\red $-z = 2-3i$}\hfil l'inverse de $z$ est {\red$\dfrac1z = \dfrac{1}{-2+3i} = \dfrac{-2-3i}{13}$} \hfil

\bigskip

le conjugué de $z$ est {\red $\bar{z} = -2-3i$}\hfil le module de $z$ est {\red$|z| = \sqrt{(-2)^2+3^2} = \sqrt{13}$}\hfil
\vskip 3.5cm

\end{document} 