\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{geometry}\geometry{verbose,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz,tkz-tab}

\def\boxit#1#2{\leavevmode\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1 \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1
\setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%
\setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
\advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1
\advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2
\box1\relax}

\def\tvi{\vrule height 15pt depth  5pt width 0pt}
\def\gtvi{\vrule height 5cm depth  5pt width 0pt}
\def\boite#1{\fbox{\tvi~\hskip #1 cm ~}\bigskip}

\newcommand{\R}{\mathds {R}}

\begin{document}
	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip 0cm
 \thispagestyle{empty}	

\boxit{4pt}{Minitest N°4 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^2+3x-5$

\begin{enumerate}
	
\item Résoudre $f(x) = 0$

{\red $\Delta = 3^2-4\times2\times(-5) = 9+40  = 49>0$, 
	
	il y a donc deux solutions $x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{49}}{2\times 2} = \dfrac{-3-7}{4} = -\dfrac52$ et $x_2 = \dfrac{-3+7}{4} = 1$. 
	
	On a donc $\mathcal{S} = \left\{-\frac52;1\right\}$}\vskip 0.5cm

\item Résoudre $f(x) < 0$

{\red D'après ce qui précède, on a le tableau de signe suivant : 

\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
	\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/1.5}{$-\infty$ , $-\frac52$,$1$,$+\infty$}
	\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}


On peut donc lire que les solutions de $f(x) < 0$ sont les éléments de $\mathcal{S} = \left]-\frac52 ; 1\right[$
}\vskip 0.5cm

\item Calculer le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a=2$ comme dans le cours.

{\red Le taux d'accroissement de $f$ en 2 est $t_X = \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} = \dfrac{2x^2+3x-5-9}{x-2} = \dfrac{2x^2-3x-14}{x-2}$\\
	
	Factorisons le numérateur, on a: $\Delta = 9-4\times 2\times (-14) = 9+112 = 121=11^2>0$\\
	
	Il y a deux racines : $x_1 = \dfrac{-3-11}{2\times2} = -\dfrac72$ et $x_2 = \dfrac{-3+11}{2\times2} = 2$\\
	
	On a donc $2x^2+3x-14 = 2\times(x-2)(x+\frac72)$\\
	
	En reportant dans $t_X$ on obtient : $t_X = \dfrac{ 2\times(x-2)(x+\frac72)}{x-2} =  2(x+\frac72) = 2x+7$\\
	
	Puis on fait tendre $x$ vers 2, cela donne $\lim\limits_{x\to2}t_X = 4+7=11$. \\
	
	Comme c'est un réel, on écrit $f'(2) = 11$}

\end{enumerate}


\newpage

\boxit{4pt}{Minitest N°4 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^2-3x+1$

\begin{enumerate}
	
	\item Résoudre $f(x) = 0$
	
	{\red $\Delta = (-3)^2-4\times2\times1 = 9-8  = 1>0$, 
		
		il y a donc deux solutions $x_1 = \dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times 2} = \dfrac{3-1}{4} = \dfrac12$ et $x_2 = \dfrac{3+1}{4} = 1$. 
		
		On a donc $\mathcal{S} = \left\{\frac12;1\right\}$}\vskip 0.5cm
	
	\item Résoudre $f(x) \leqslant 0$
	
	{\red D'après ce qui précède, on a le tableau de signe suivant : 
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
			\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/1.5}{$-\infty$ , $\frac12$,$1$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
		\end{tikzpicture}
		
		
		On peut donc lire que les solutions de $f(x) \leqslant 0$ sont les éléments de $\mathcal{S} = \left[\frac12 ; 1\right]$
	}\vskip 0.5cm
	
	\item Calculer le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a=1$ comme dans le cours.
	
	{\red Le taux d'accroissement de $f$ en 1 est $t_X = \dfrac{f(x)-f(2)}{x-1} = \dfrac{2x^2-3x+1-0}{x-1}$\\
		
		Factorisons le numérateur, on a déjà obtenu : $\Delta = 1>0$\\
		
		Il y a deux racines : $x_1 = \dfrac12$ et $x_2 = 1$\\
		
		On a donc $2x^2+3x-14 = 2\times(x-\frac12)(x-1)$\\
		
		En reportant dans $t_X$ on obtient : $t_X = \dfrac{ 2\times(x-\frac12)(x-1)}{x-1} =  2(x-\frac12) = 2x-1$\\
		
		Puis on fait tendre $x$ vers 1, cela donne $\lim\limits_{x\to1}t_X = 2-1=1$. \\
		
		Comme c'est un réel, on écrit $f'(1) = 1$}
	
\end{enumerate}


\end{document} 