\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}

\DecimalMathComma

\def\ds{\displaystyle }

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 6 }
\def\madate{ Janvier 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{SERIE D'EXERCICES\\ pour réviser}}}}} %centre
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\def\z#1.{\bigskip  \stepcounter{nz} $z_{\arabic{nz}} = #1$}

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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}
\newcolumntype{P}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1\textwidth}}
\begin{document}
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\doublespacing

%MOTS complexes, calculs.
\exo Calculer un argument des complexes suivants :

\begin{multicols}{2}

\z \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}.

\z \dfrac{-1-i}{\sqrt{2}}.

\end{multicols}


%MOTS complexes, équations.
\exo Résoudre les équations suivantes:  :

\begin{multicols}{2}

$2z^2+3z=-4$

$z^3+3z^2+9z-13=0$


\end{multicols}

%MOTS complexes, géométrie.
\exo Déterminer l'ensemble de points $M$ d'affixes $z$ tels que :

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[a)]
  \item $|z-3| = 2$
  \item $|z-2| = |z-i|$
  \item Re$(z) = 3$
  \item Im$(z) =2$
  \item arg$(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
  \item arg$(z-i) = \frac{\pi}{4}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

%MOTS complexes, module, argument, physique, logarithme.
\exo On considère un filtre régi par la fonction de transfert suivante : \qquad $H(\omega) = \dfrac{\dfrac{1}{j C\omega}}{R+\dfrac{1}{j C\omega}}$
\vskip-0.5cm
où $\omega$, $R$ et $C$ sont des réels strictement positifs

et $j$ est le complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

On note $\omega_0 = \frac{1}{RC}$ et $x = \frac{\omega}{\omega_0}$.

\bigskip

\underline{\bf Partie A}

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $H(\omega) = \dfrac{1}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_0}}$
	
	\item Donner, en détaillant, la forme algébrique de $H(\omega_0)$
	
\end{enumerate}

\bigskip

\underline{\bf Partie B}

Le gain du circuit est donné par $G_{dB}(x) = 20\log \Big|H(\omega)\Big|$.

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $G_{dB}(x) = -\dfrac{10}{\ln(10)}\ln \left(1+x^2\right)$
	
	\item Calculer $G'_{dB}(x)$ et en déduire les variations de $G_{dB}$ sur $]0;+\infty[$
	
	\item Quelle est la limite de $G_{dB}$ lorsque $x$ tend vers $0_+$ ?
	
	\item Un grapheur fournit la courbe suivante pour des petites valeurs de $x$
	
	\hfil\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=8.0cm,y=1.0cm]
		\draw [color=blue, xstep=0.5cm,ystep=0.5cm,dash pattern=on 1pt off 4pt,line width=0.5pt] (0,-5.162020541214352) grid (1.6,1.314667284933317);
		\draw[->,color=black] (-0.1,0.) -- (1.65,0.);
		\foreach \x in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6}
		\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
		\draw[->,color=black] (0,-5) -- (0,1);
		\foreach \y in {-4.,-2.}
		\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
		\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
		\clip(0,-5) rectangle (3.4,1.3);
		\draw[line width=2.pt,color=blue,smooth,samples=100,domain=0.01:3.2] plot(\x,{0-10.0/ln(10.0)*ln(1.0+(\x)^(2.0))});
		\draw[color=black] (3.2,0.3) node {$x$};
		\draw[color=black] (0.1,0.7) node {$G_{dB}$};
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la solution de l'équation $G_{dB}(x) = -3$
		
		\item On appelle ici bande passante l'ensemble des pulsations pour lesquelles $G_{dB}(x)>-3$. Déterminer la bande passante en $\omega$ de ce circuit électrique.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

%MOTS fontions, limite, dériévée, asymptote, exponentielle.
\exo On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par:

\[h(t) = 6 \text{e}^{-0,1 t} - 3 \text{e}^{-0,2t} + 5.\]

On note $C$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal 

et on appelle $D$ la droite d'équation $y = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Justifier que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}h(t) = 5$, en donner une interprétation graphique.
	
	\item Déterminer une expression de $h'(t)$.
	\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant, qui est admis : l'ensemble des
	solutions de l'inéquation $h'(t) \leqslant  0$ est l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
			\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline	
			1 &$h(t)$:=6$*$exp($-$0.1$*$t)$-$ 3$*$exp($-0.2t$) + 5\\ 
			\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0.08){0.1} &$\to  h(t)$ := $-3 \text{e}^{-\frac{1}{5}t} + 6 \text{e}^{-\frac{1}{10}t} + 5$\\ \hline
			2 &Résoudre[Dérivée$[h(t), t]\leqslant 0, t]$\\
			\pscircle(0,0.08){0.1}&$\to  \{t \geqslant 0\}$\\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	Dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\end{document}
