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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 4 }
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
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\newcommand{\e}{\text{e}}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
	
\exo {Équations du second degré}\\

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x) = 2x^2 - 4x - 6
\]

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
	\[
	2x^2 - 4x - 6 = 0
	\]
	
	\item Factoriser le polynôme $f(x)$.
	
	\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\item Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée à $f$.
	
	\item Résoudre l'inéquation :
	\[
	2x^2 - 4x - 6 \leq 0
	\]
\end{enumerate}

\exo {Étude d'une fonction}\\

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x) = (x - 1)e^{-x}
\]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$ puis lorsque $x \to -\infty$.
	
	\item Calculer la dérivée $f'(x)$ et montrer que :
	\[
	f'(x) = (2 - x)e^{-x}
	\]
	
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
	
	\item Déterminer les coordonnées du maximum de $f$.
	
	\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
	\[
	f(x) = 0
	\]
	
	\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\exo {Étude d'une fonction logarithmique}\\

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par :
\[
f(x) = x - 2\ln(x)
\]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to 0^+$ puis lorsque $x \to +\infty$.
	
	\item Calculer la dérivée $f'(x)$.
	
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
	
	\item Déterminer le minimum de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
	
	\item Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ l'équation :
	\[
	f(x) = 0
	\]
	
	\item Étudier le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
	
	\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\exo {Équation différentielle et étude de fonction}\\

On considère l'équation différentielle :
\[
(E) : y'(x) + 2y(x) = e^{-x}
\]

\begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation différentielle homogène associée :
	\[
	y'(x) + 2y(x) = 0
	\]
	
	\item Déterminer une solution particulière de $(E)$.
	
	\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
	
	\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale :
	\[
	f(0) = 1
	\]
	
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
	
	\item Résoudre l'équation :
	\[
	f(x) = 0
	\]
\end{enumerate}

\exo {Équation différentielle d'ordre 2 et étude de fonction}\\

On considère l'équation différentielle :
\[
(E) : y''(x) - 3y'(x) + 2y(x) = 4
\]

\begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation différentielle homogène associée :
	\[
	y''(x) - 3y'(x) + 2y(x) = 0
	\]
	
	\item Déterminer une solution particulière constante de $(E)$.
	
	\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
	
	\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant les conditions initiales :
	\[
	f(0) = 1 \quad \text{et} \quad f'(0) = 0
	\]
	
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
	
	\item Résoudre l'équation :
	\[
	f(x) = 2
	\]
\end{enumerate}

\end{document}