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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
	
\section*{Exercice : Étude d'un filtre RC}

On considère un circuit électrique composé :
\begin{itemize}
	\item d'une résistance $R = 10\,k\Omega$
	\item d'un condensateur $C = 100\,\mu F$
	\item d'une source de tension $e(t)$
\end{itemize}

Le condensateur est initialement déchargé :
\[
u_C(0) = 0
\]

À $t = 0$, on applique une tension constante :
\[
e(t) = 5\,V \quad \text{pour } t \geq 0
\]

On s'intéresse à la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$.

\subsection*{Questions}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Mise en équation}
	
	À l'aide des lois de l'électricité (loi des mailles et relation courant/tension du condensateur), montrer que $u_C(t)$ vérifie :
	\[
	RC \frac{du_C}{dt} + u_C = e(t)
	\]
	
	\item \textbf{Résolution de l'équation différentielle}
	
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre cette équation pour $t \geq 0$
		\item Montrer que la solution est de la forme :
		\[
		u_C(t) = A \left(1 - e^{-t/\tau} \right)
		\]
		où $\tau = RC$
		\item Calculer la valeur de $\tau$
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Exploitation physique}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u_C(t)$
		\item Calculer $u_C(\tau)$
		\item Interpréter la constante de temps $\tau$
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Étude graphique}
	
	\begin{enumerate}
		\item Tracer l'allure de $u_C(t)$
		\item Indiquer la valeur finale, la constante de temps et la tangente à l'origine
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Application industrielle}
	
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi ce montage est un filtre passe-bas
		\item Décrire le comportement du circuit si le signal d'entrée varie très rapidement
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\newpage

\section*{Exercice : Filtre RC soumis à un signal sinusoïdal}

On considère le même circuit RC avec :
\begin{itemize}
	\item $R = 10\,k\Omega$
	\item $C = 100\,\mu F$
\end{itemize}

La tension d'entrée est maintenant :
\[
e(t) = E_0 \cos(\omega t)
\]
avec $E_0 = 5\,V$.

\subsection*{Questions}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Équation différentielle}
	
	Montrer que $u_C(t)$ vérifie :
	\[
	RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E_0 \cos(\omega t)
	\]
	
	\item \textbf{Solution générale}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner la solution générale comme somme d'une solution homogène et d'une solution particulière
		\item Déterminer la solution homogène
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Solution particulière}
	
	On cherche une solution particulière sous la forme :
	\[
	u_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)
	\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $A$ et $B$
		\item En déduire l'expression de $u_p(t)$
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Régime permanent}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression du régime permanent
		\item Mettre la solution sous la forme :
		\[
		u_C(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)
		\]
		\item Exprimer $U_m$ et $\varphi$ en fonction de $\omega$, $R$ et $C$
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Interprétation}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le comportement pour $\omega \to 0$
		\item Étudier le comportement pour $\omega \to +\infty$
		\item Conclure sur la nature du filtre
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice : Étude d'un filtre RC et diagramme de Bode}

On considère un circuit RC série composé de :
\begin{itemize}
	\item une résistance $R = 10\,k\Omega$
	\item un condensateur $C = 100\,\text{nF}$
\end{itemize}

La tension d'entrée est $e(t)$ et la tension de sortie $u_C(t)$ est mesurée aux bornes du condensateur.

\subsection*{1. Fonction de transfert}

\begin{enumerate}
	\item Établir l'expression de la fonction de transfert $H(j\omega)$ du circuit :
	\[
	H(j\omega) = \frac{U_C(j\omega)}{E(j\omega)}
	\]
	
	\item Montrer que :
	\[
	H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}
	\]
\end{enumerate}

\subsection*{2. Gain et phase}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le module $|H(j\omega)|$
	\item Montrer que :
	\[
	|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}
	\]
	
	\item Exprimer le gain en décibels :
	\[
	G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10} |H(j\omega)|
	\]
	
	\item Déterminer l'argument $\varphi(\omega)$ :
	\[
	\varphi(\omega) = -\arctan(\omega RC)
	\]
\end{enumerate}

\subsection*{3. Fréquence de coupure}

\begin{enumerate}
	\item Définir la fréquence de coupure $f_c$
	\item Montrer que :
	\[
	f_c = \frac{1}{2\pi RC}
	\]
	
	\item Calculer sa valeur numérique
\end{enumerate}

\subsection*{4. Diagramme de Bode}

\begin{enumerate}
	\item Tracer le diagramme de Bode du gain (asymptotique puis réel)
	\item Tracer le diagramme de la phase
	\item Indiquer les points caractéristiques :
	\begin{itemize}
		\item gain à basse fréquence
		\item pente après $f_c$
		\item valeur du gain à $f_c$
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection*{5. Étude du comportement}

\begin{enumerate}
	\item Étudier le comportement pour $\omega \ll \omega_c$
	\item Étudier le comportement pour $\omega \gg \omega_c$
	\item Conclure sur la nature du filtre
\end{enumerate}

\subsection*{6. Application}

On applique un signal sinusoïdal de fréquence :
\[
f = 10\,f_c
\]

\begin{enumerate}
	\item Le signal est-il atténué ou non ?
	\item Donner une estimation du gain en dB
	\item Décrire qualitativement le signal de sortie
\end{enumerate}
	
\end{document}