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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 4 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
	
	\section*{Série d'exercices -- BTS CIRA}
		
	\begin{multicols}{2}
		
	\section{Calculs de base}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer les parties réelle et imaginaire des nombres complexes suivants :
		\begin{enumerate}
			\item $z = (3 + 2i) + (5 - 4i)$
			\item $z = (1 - i)(2 + 3i)$
		\end{enumerate}
		
		\item Mettre sous la forme $a + ib$ :
		\begin{enumerate}
			\item $z = (2 + i)^2$
			\item $z = \dfrac{1 + i}{1 - i}$
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminer le conjugué et le module de :
		\begin{enumerate}
			\item $z = 3 - 4i$
			\item $z = -1 + i$
		\end{enumerate}
		
		\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
		\begin{enumerate}
			\item $z^2 + 4 = 0$
			\item $z^2 - 2z + 5 = 0$
		\end{enumerate}
		
		\item Écrire sous forme algébrique :
		\begin{enumerate}
			\item $z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$
			\item $z = 3e^{i\pi}$
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminer le module et un argument de :
		\begin{enumerate}
			\item $z = 1 + i$
			\item $z = -\sqrt{3} + i$
		\end{enumerate}
		
		\item Représenter dans le plan complexe les points d'affixes : $z_1 = 2 + i \quad ; \quad z_2 = -1 - 2i $
		
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que :$|z| = 2$
		
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que :$\mathrm{Re}(z) = 1$
		
		\item On considère $z = 1 + i$.
		\begin{enumerate}
			\item Écrire $z$ sous forme trigonométrique.
			\item Calculer $z^3$ sous forme exponentielle puis algébrique.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\section{Exercices : Applications en électricité}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item En régime sinusoïdal, une tension est donnée par le nombre complexe :
		\[
		U = 230 e^{j\frac{\pi}{6}}
		\]
		\begin{enumerate}
			\item Donner le module et l'argument de $U$.
			\item Écrire $U$ sous forme algébrique.
		\end{enumerate}
		
		\item Une impédance est donnée par :
		\[
		Z = 10 + 5j \ \Omega
		\]
		\begin{enumerate}
			\item Calculer le module de $Z$.
			\item Déterminer un argument de $Z$.
			\item Interpréter la nature du dipôle (résistif, inductif ou capacitif).
		\end{enumerate}
		
		\item On considère un courant complexe :
		\[
		I = \dfrac{U}{Z} \quad \text{avec} \quad U = 100 \ \text{V} \ \text{et} \ Z = 4 + 3j \ \Omega
		\]
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $I$ sous forme algébrique.
			\item Donner le module de $I$.
		\end{enumerate}
		
		\item Une impédance d'un circuit RL est donnée par :
		\[
		Z = R + j\omega L
		\]
		avec $R = 20 \ \Omega$, $L = 0{,}1 \ \text{H}$ et $\omega = 100 \ \text{rad/s}$.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $Z$ sous forme algébrique.
			\item Déterminer son module.
		\end{enumerate}
		
		\item Dans un circuit, on a :
		\[
		Z = 5 - 5j \ \Omega
		\]
		\begin{enumerate}
			\item Calculer le module de $Z$.
			\item Déterminer un argument de $Z$.
			\item Préciser si le comportement est plutôt inductif ou capacitif.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

	\end{multicols}
	
	\newpage
	
	\section{Exercices : Gain en décibels}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \textbf{Filtre RC passe-bas}
		
		On considère un filtre RC passe-bas alimenté par une tension d'entrée $U_e$.  
		La fonction de transfert est donnée par :
		\[
		H(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j\omega RC}
		\]
		avec $R = 1\,\text{k}\Omega$ et $C = 100\,\text{nF}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimer le module $|H(j\omega)|$.
			\item Calculer la pulsation de coupure $\omega_c$. On rappelle que dans ce circuit la pulsation de coupure est donnée par :
			\[
			\omega_c = \dfrac{1}{RC}
			\]
			\item Calculer le gain en décibels :
			\[
			G_{\text{dB}} = 20 \log_{10} |H(j\omega)|
			\]
			pour $\omega = \omega_c$.
			\item Donner la valeur du gain en décibels pour $\omega \ll \omega_c$.
			\item Résoudre l'équation $G_{\text{dB}} = -3$ et vérifier la cohérence avec la pulsation de coupure.
		\end{enumerate}
		
		\vskip 1.5cm
		
		\item \textbf{Filtre RL passe-haut}
		
		On considère un filtre RL passe-haut dont la fonction de transfert est :
		\[
		H(j\omega) = \dfrac{j\omega L}{R + j\omega L}
		\]
		avec $R = 100\,\Omega$ et $L = 0{,}1\,\text{H}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimer le module $|H(j\omega)|$.
			\item Déterminer la pulsation de coupure $\omega_c$. On rappelle que dans ce circuit la pulsation de coupure est donnée par :
			\[
			\omega_c = \dfrac{R}{L}
			\]
			\item Calculer le gain en décibels pour $\omega = \omega_c$.
			\item Déterminer le comportement du gain en décibels lorsque $\omega \to +\infty$.
			\item Résoudre l'équation $G_{\text{dB}} = -3$ et vérifier la cohérence avec la pulsation de coupure.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{document}