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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\newcommand{\e}{\text{e}}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
	
	\section*{Série d'exercices -- BTS CIRA}
	
	\exo {\bf -- Signal affine --} Un capteur délivre une tension définie par : $U(t) = 2t + 1$
	
	($U$ est en volts, $t$ en secondes)
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la tension à $t = 3$.
		\item À quel instant la tension vaut 5 V ?
		\item Interpréter le coefficient directeur.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Erreur quadratique --} On modélise une erreur de mesure par : $e(t) = t^2 - 4t + 3$
	
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $e(t)$.
		\item Déterminer quand l'erreur est nulle.
		\item Étudier le signe de l'erreur.
		\item À quel instant l'erreur est minimale ?
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Charge d'un condensateur --} On considère une tension définie par :\\
	
	\hfil $U(t) = 5(1 - e^{-t})$ (en volts, $t$ en secondes)
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U(0)$ et $U(2)$.
		\item Déterminer la limite quand $t \to +\infty$.
		\item Interpréter physiquement cette limite.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Fonction logarithme --} On a : $t = \ln(x)$
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine de définition.
		\item Résoudre $\ln(x) = 2$.
		\item Donner le sens de variation.
	\end{enumerate}
	
	%\goodbreak % #########################################################################################
	
	\exo {\bf -- Signal sinusoïdal --} On considère le signal défini par : $s(t) = \sin(t)$
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'amplitude et la période.
		\item Calculer $s(0)$ et $s(\pi/2)$.
		\item Tracer l'allure de la courbe.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Dérivée --} Soit : $T(t) = t^2 + 3t$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $T'(t)$.
		\item Interpréter $T'(t)$.
		\item Calculer la vitesse à $t = 2$.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Étude de variation --} On considère la fonction définie sur $\R^+$ par : $f(t) = -t^2 + 4t$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$.
		\item Dresser le tableau de variation.
		\item Déterminer le maximum.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Produit --} On considère la fonction définie sur $\R^+$ par : $f(t) = t \cdot e^{-t}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier les variations.
		\item Déterminer le maximum.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Limites --} Déterminer les limites suivantes :
	$
	\lim\limits_{t \to +\infty} e^{-t}, \qquad
	\lim\limits_{t \to 0^+} \ln(t), \qquad
	\lim\limits_{t \to +\infty} \frac{t}{t+1}
	$
	
	\exo {\bf -- Résolution approchée --} 
	
	On considère la fonction définie par $\R^+$ par : $f(t) = e^{-t} - 0{,}1$
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe une solution.
		\item Trouver une valeur approchée entre 2 et 3.
		\item Proposer une méthode (balayage ou dichotomie).
	\end{enumerate}
	
	\newpage %#####################################################################################################
	
	\section*{Série d'exercices -- Approfondissement BTS CIRA}
	
	\exo {\bf -- Modèle affine inverse --} Un capteur vérifie : $T(U) = \frac{U - 1}{2}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la température pour $U = 5$ V.
		\item Exprimer $U$ en fonction de $T$.
		\item Interpréter physiquement cette relation.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Étude complète d'un trinôme --} Soit $f(t) = 2t^2 - 8t + 6$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier les variations de $f$.
		\item Déterminer le minimum.
		\item Résoudre $f(t) = 0$.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Modèle exponentiel décroissant --} Soit $C(t) = 10 e^{-0{,}5t}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $C'(t)$.
		\item Étudier les variations.
		\item Déterminer le temps pour lequel $C(t) = 1$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Fonction composée --} Soit $f(t) = \ln(t^2 + 1)$
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine de définition.
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier les variations.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Étude d'un quotient --} Soit $f(t) = \frac{t}{t^2 + 1}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$.
		\item Dresser le tableau de variation.
		\item Déterminer les extremums.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Optimisation (réponse transitoire) --} Soit $f(t) = t e^{-t}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Résoudre $f'(t) = 0$.
		\item Déterminer le maximum.
		\item Interpréter ce maximum.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Limite et asymptote --} Soit $f(t) = \frac{2t + 1}{t + 1}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite quand $t \to +\infty$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Étudier la limite en $t = -1$.
		\item En déduire les asymptotes.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Fonction exponentielle composée --} Soit $f(t) = e^{2t - 1}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier les variations.
		\item Résoudre $f(t) = 1$.
	\end{enumerate}
	
	\exo {\bf -- Étude globale avec interprétation --} Soit $f(t) = \frac{e^{-t}}{t+1}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine de définition.
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier les variations.
		\item Déterminer les limites aux bornes du domaine.
		\item Interpréter le comportement du système.
	\end{enumerate}
	
	\newpage
	
	\exo {\bf -- Étude du gain d'un filtre du premier ordre --}
	
	On considère un filtre du premier ordre dont le gain en fonction de la pulsation $\omega$ est donné par :
	\[
	G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}}
	\]
	
	où $\omega_0 > 0$ est une constante caractéristique du filtre.
	
	\begin{enumerate}
		\item {\bf -- Étude de la fonction --}
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer le domaine de définition de $G$.
			\item Calculer la limite de $G(\omega)$ lorsque $\omega$ tend vers $0$.
			\item Calculer la limite de $G(\omega)$ lorsque $\omega$ tend vers $+\infty$.
			\item Interpréter ces résultats du point de vue physique.
		\end{enumerate}
		
		\item {\bf -- Dérivation et variations --}
		\begin{enumerate}
			\item Écrire $G(\omega)$ sous la forme $(1 + u(\omega))^{-1/2}$.
			\item Calculer la dérivée $G'(\omega)$.
			\item Étudier le signe de $G'(\omega)$.
			\item Dresser le tableau de variation de $G$.
		\end{enumerate}
		
		\item {\bf -- Gain en décibels --}
		On définit le gain en décibels par : $G_{\mathrm{dB}}(\omega) = 20 \log_{10}(G(\omega))$
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $G_{\mathrm{dB}}(0)$.
			\item Montrer que : $G_{\mathrm{dB}}(\omega_0) \approx -3 \ \text{dB}$
			\item Interpréter ce résultat.
		\end{enumerate}
		
		\item {\bf -- Recherche de fréquence --}
		On cherche la pulsation $\omega$ telle que $G(\omega) = 0{,}5$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que cette équation admet une solution.
			\item Résoudre l?équation.
			\item Donner une valeur approchée si $\omega_0 = 100 \ \text{rad/s}$.
		\end{enumerate}
		
		\item {\bf -- Interprétation globale --}
		Décrire le comportement du filtre (type, rôle, utilisation possible).
	\end{enumerate}
	
\end{document}