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\def\tv{\vrule height 10pt depth 10pt width 0.5pt }
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Janvier 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo Exprimer, en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(5)$ les valeurs de :

\begin{multicols}{3}
a) $\ln(10)$

b) $\ln(25)$

c) $\ln(16)$

d) $\ln(400)$

e) $\ln\Big(\frac{2}{25}\Big)$

f) $\ln\Big(\frac58\Big)$

g) $\ln(0,4)$

h) $\ln(\sqrt5)$

i) $\ln(2\sqrt2)$

k) $\ln(5\sqrt{10})$
\end{multicols}

\exo Résoudre les équations suivantes:

a) $\ln\Big( x^2-4\Big)=\ln(5)+2\ln(3)$\quad\tv\;b) $\ln(x+2)=2\ln(x)$\quad\tv\;c) $\ln(x)+\ln(x+2)=\ln(9x-12)$

\exo
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative
du logarithme népérien aux points d'abscisses $\dfrac12$, 1 et 2.
Tracer ces tangentes et une allure possible de la courbe du logarithme
népérien.

\exo Résoudre les inéquations suivantes:

\begin{multicols}{3}
a) $\ln(x-2)\leqslant 0$

b) $\ln(-2x+3)> 0$

c) $\ln(2x+1)-\ln(x+1)<0$
\end{multicols}

\exo \`A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la solution
de l'équation $\ln(x)=3$.





\exo
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\Big(2x^2+2\Big)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les équations des tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux
  points d'abscisses $-1$, 0 et 1.
\item \`A l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs:
\[\begin{tabular}{|*{10}{p{1cm}|}}\hline
\rule[-.2cm]{0cm}{.6cm}
$x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline
\rule[-.4cm]{0cm}{1cm}$f(x)$ &&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item Placer les points de $\mathcal{C}_f$ corresponds aux valeurs
  précédentes, les tangentes étudiées précédemment,
  puis l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}



\exo
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes:
\begin{multicols}{2}
a) $f(x)=x-2-\ln(x)$

b) $f(x)=x\ln(x)$

c) $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$

d) $f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^2$

e) $f(x)=(x+1)\ln(x)-x$

f) $f(x)=\ln\Big(\dfrac{x+3}{2-x}\Big)$

g) $f(x)=0,2x+3-2,6\ln(x+2)$

h) $f(x)=\dfrac12x^2+1-\ln(x)$

i) $f(x)=\dfrac1x+\dfrac{\ln(x)}{x}$

j) $f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^5$

k) $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x+1}$

l) $f(x)=\dfrac{3\ln(x)+1}{\ln(x)}$
\end{multicols}

\exo Soit la fonction f définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par
$f(x)=2\ln(x)+\dfrac{4}{x}-5$.

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate} [a)]
    \item Déterminer graphiquement,
      à l'aide de la calculatrice, $\ds\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
    \item On admet que $\ds\lim_{x\to0}f(x)=+\infty$.
        Que peut-on en déduire graphiquement ?
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate} [a)]
    \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout $x>0$,
        $f'(x)=\dfrac{2x-4}{x^2}$.
    \item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$,
        et en déduire le sens de variation de $f$.
    \end{enumerate}
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$,
    puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$~près.
\end{enumerate}



\exo Soit la fonction $f$ définie sur
$I=\Bigl]\dfrac12;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{2}{2x-1}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $I$.
\item Déterminer la primitive $G$ de $f$ sur $I$ qui s'annule en $5$.
\end{enumerate}


\exo Donner l'expression d'une primitive $F$ des fonctions définies par les
expressions suivantes:
\begin{multicols}{2}
a) $f(x)=\dfrac{6x}{3x^2+3}$

b) $f(x)=\dfrac{2}{2x-3}$

c) $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$

d) $f(x)=\dfrac{24x^2}{-4x^3+2}$

e) $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x+2}$

f) $f(x)=3x+4+\dfrac{1}{2x+4}$

g) $f(x)=1+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{2}{x+2}$

h) $f(x)=-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3x^2+2}{x^3+2x}-\dfrac{2x}{\Big( x^2+3\Big)^2}$
\end{multicols}


\exo Déterminer les limites suivantes:

\begin{multicols}{2}

a) $\ds\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x+\ln(x)$

b) $\ds\lim_{x\to+\infty} 5x+\ln(x)$

c) $\ds\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(x)}{x}$

d) $\ds\lim_{x\to+\infty}\ln\Big( x^2+3\Big)$

e) $\ds\lim_{x\to+\infty}\ln\Big(\dfrac{x^2+3}{x^2+3x+12}\Big)$

\end{multicols}

\exo \`A l'aide de la calculatrice (calculs de valeurs, courbe
représentative, tableau de valeurs,\dots), conjecturer les limites:

\begin{multicols}{3}
a) $\ds\lim_{x\to+\infty}x-\ln(x)$

b) $\ds\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$

c) $\ds\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}$

d) $\ds\lim_{x\to0}x\ln(x)$

e) $\ds\lim_{x\to0}x\Bigl(\ln(x)\Bigr)^4$

\end{multicols}

\exo Déterminer les limites en $+\infty$ des fonctions suivantes:

\begin{multicols}{3}

a) $f(x)=x^2+\dfrac{\ln(x)}{x}$

b) $f(x)=x-\ln(x)$

c) $f(x)=x^2-6x-\ln(x)$

d) $f(x)=3x^3+2x^2+5\ln(x)$

e) $f(x)=\dfrac{1+\ln(x)}{x}$

f) $f(x)=\dfrac{\ln(x)+16}{x+6}$

g) $f(x)=\dfrac1x+\dfrac{x}{\ln(x)}$

h) $f(x)=\dfrac{x+1}{\ln(x)+1}$
\end{multicols}


\exo
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$
par $f(x)=x-\ln(x)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
  Interpréter graphiquement ces résultats.
\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe
  représentative de $f$ au point d'abscisse 1.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}


\exo \textbf{Intensité acoustique en dB et isolation phonique}\\
L'intensité acoustique en décibels (dB) d'un son est donnée
par $L=10\log\Big(\dfrac{I}{I_0}\Big)$,
où $I$ est l'intensité du son étudié et $I_0$ une intensité de référence
($I$ et $I_0$ en Watts par mètres carrés, $W.m^{-2}$).
On donne $I_0=10^{-12}\,W.m^{-2}$.

\begin{enumerate} [A.]
\item
  \begin{enumerate} [1.]
  \item Un haut parleur diffuse de la musique; l'intensité
    du son est égale à $10^{-6}\,W.m^{-2}$.
    Calculer l'intensité acoustique $L_1$ en dB.
  \item On ajoute un deuxième haut parleur identique au premier,
    et l'intensité du son double.
    Calculer l'intensité acoustique en dB correspondante.
    A-t'on $L_2=2L_1$ ?
  \item On multiplie par 10 l'intensité sonore
    (ou on utilise 10 haut parleurs identique simultanément).
    Calculer l'intensité acoustique en dB correspondante.
  \item Le seuil de danger pour l'oreille humaine est à 90\,dB.
    Calculer l'intensité du son correspondante.
  \end{enumerate}
\item \textbf{Isolation phonique}
  On dispose de plaques d'isolation phonique permettant d'absorber
  $8\%$ de l'intensité du son qui lui parvient.
  Pour concevoir un système d'isolation performant,
  on superpose ces plaques.

  On utilise pour tester notre système d'isolation
  une source de référence qui émet un son d'intensité 100dB.
  \begin{enumerate} [1)]
  \item Déterminer l'intensité du son après atténuation par une plaque.
  \item Déterminer l'intensité du son après atténuation par deux plaques
    successives.
  \item On note $u_n$ l'intensité du son mesurée après la traversée
    de $n$ plaques.

    \begin{enumerate} [a)]
    \item Donner $u_0$, $u_1$ et $u_2$, puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction
    de $u_n$.
    \item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$.
      En déduire l'expression $u_n$ en fonction de $n$ et $u_0$.
    \item Quelle intensité sonore obtient'on avec 10 plaques ?
    \item Combien de plaques faut-il utiliser pour que l'intensité
      du son devienne inférieur à 1dB.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{LastPage}
\end{document}

\end{document}
