\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

%\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 2 }
\def\madate{\ifcase\month\or
	janvier\or février\or mars\or avril\or mai\or juin\or
	juillet\or août\or septembre\or octobre\or novembre\or décembre\fi
	\space\number\year}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Exercice inéquation}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{CIRA\textsuperscript{1}}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}
\setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

%\renewcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}
\def\hs#1{\medskip\hskip #1 cm }
\begin{document}

\exo Résoudre $(x^2+5x)(\frac12x-\frac13)>0$

C'est une inéquation produit, donc on factorise ce qui est encore possible.


$x^2+5x= x\times (x+5)$ donc l'inéquation devient :  $x\times (x+5)\times (\frac12x-\frac13)>0$\bigskip

On étudie le signe de chaque facteur.\bigskip

$\bullet$ \underline{Signe de $x$}

\hs1 $x$ est une expression affine croissante car $1>0$

\hs1 $x$ s'annule en 0\bigskip

$\bullet$ \underline{Signe de $x$}

\hs1 $x+5$ est une expression affine croissante car $1>0$

\hs1 $x+5$ s'annule en $x=-5$\bigskip

$\bullet$ \underline{Signe de $\frac12x-\frac13$}

\hs1 $\frac12x-\frac13$ est une expression affine croissante car $\frac12>0$

\hs1 $\frac12x-\frac13 = 0$ ssi  $\frac12x=\frac13$

\hskip 2cm ssi $x= \frac23$\bigskip

$\bullet$ Résumons ces informations dans un tableau de signes:

\hs1 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
	\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , $x$ / 1, $x+5$/1, $\frac12x-\frac13$/1,produit/2}{$-\infty$, $-5$, $0$, $\frac23$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,t, -,z,+,t,+, }
	\tkzTabLine{,-,0, +,t,+,t,+, }
	\tkzTabLine{,-,t, -,t,-,z,+, }
	\tkzTabLine{,-,z, +,0,-,z,+, }
\end{tikzpicture}

En lisant ce tableau on peut alors résoudre l'inéquation $x\times (x+5)\times (\frac12x-\frac13)>0$\bigskip

On lit : $S = ]-5;0[ ~\cup~ ]\frac23;+\infty[$

\end{document} 