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\newcommand{\exo}{\bigskip\stepcounter{nexo}\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}\quad }

\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\begin{document}

\exo

Un considère une bobine d'inductance $L$, de résistance $R$ en parallèle avec un condensateur de capacité $C$, on admet que l'impédance complexe du circuit suit la relation : $$\dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R+j L\omega}+\dfrac{1}{\frac{1}{j C\omega}}$$

\medskip

En notant : $\omega_1 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, \quad $\omega_2 = \dfrac{1}{RC}$\quad et\quad $\tau = \dfrac{L}{R}$, montrer que :
$Z = R\times \dfrac{1+j\tau\omega}{1-\left(\dfrac{\omega}{\omega_1}\right)^2+j\dfrac{\omega}{\omega_2}}$


\bigskip

\exo

 Un filtre nommé F est représenté sur le schéma ci-contre.
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\scalebox{0.95}{
\begin{circuitikz}[american voltages]
\draw
  (0,2) to [L, l_=$L$,*-*] (3,2)
  to [R, l_=$R$] (3,0)
  to [short, *-] (0,0)
  to [short, -*] (4,0);
  \draw (3,2) to [short, -*] (4,2);
  \draw (0,0) node {$\bullet$} node [left] {B};
  \draw (0,2) node {$\bullet$} node [left] {A};
  \draw (4,0) node {$\bullet$} node [right] {C};
  \draw (4,2) node {$\bullet$} node [right] {D};
  \draw[dashed,draw=red] (0.5,-0.5) rectangle (3.5,2.5);
\end{circuitikz}
}
\end{minipage}

On suppose que la fonction de transfert $H$ du filtre F vérifie, pour tout réel $\omega>0$ : $H(j\omega) = \dfrac{R}{R + j\text{L}\omega}$.

On pose $\omega_0 = \frac{R}{L}$.

\medskip

{\bf Partie A} On note pour tout réel positif $\omega$ :  $ G(\omega) = 20\log \left|H(\text{j}\omega)\right|$.

    \begin{enumerate}
    \item \textbf{Expression de la fonction} \boldmath$G$\unboldmath.
       	\begin{enumerate}
    		\item Calculer le module $\left|H(\text{j}\omega)\right|$.
    		\item En déduire que : $G(\omega) = -  \dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln \left(1 + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right)$.
    	\end{enumerate}
    \item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$G$\unboldmath.
    	\begin{enumerate}
    		\item Montrer que la fonction $G$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    		\item Déterminer $G(0)$, $G(\omega_0)$ et $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} G (\omega)$.
    		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $G$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    	\end{enumerate}

    \end{enumerate}

\bigskip

{\bf Partie B} On note $\varphi$ l'argument principal de $H(\text{j}\omega)$.

    \begin{enumerate}
    \item \textbf{Expression de la fonction} \boldmath$\varphi$\unboldmath.
       	
       Montrer que $\varphi(\omega) = -\arctan\dfrac{\omega}{\omega_0}$.

    \item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$G$\unboldmath
    	\begin{enumerate}
    		\item Montrer que la fonction $\varphi$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    		\item Déterminer $\varphi(0)$, $\varphi(\omega_0)$ et $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} \varphi (\omega)$.
    		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    	\end{enumerate}

    \end{enumerate}

\newpage

\exo

 Un filtre nommé F est représenté sur le schéma ci-contre.
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\scalebox{0.95}{
\begin{circuitikz}[american voltages]
\draw
  (0,2) to [C, l_=$C$,*-*] (3,2)
  to [R, l_=$R$] (3,0)
  to [short, *-] (0,0)
  to [short, -*] (4,0);
  \draw (3,2) to [short, -*] (4,2);
  \draw (0,0) node {$\bullet$} node [left] {B};
  \draw (0,2) node {$\bullet$} node [left] {A};
  \draw (4,0) node {$\bullet$} node [right] {C};
  \draw (4,2) node {$\bullet$} node [right] {D};
  \draw[dashed,draw=red] (0.5,-0.5) rectangle (3.5,2.5);
\end{circuitikz}
}
\end{minipage}

On suppose que la fonction de transfert $H$ du filtre F vérifie, pour tout réel $\omega>0$ : $H(j\omega) = \dfrac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}}$.

On pose $\omega_0 = \frac{1}{RC}$.

\medskip

{\bf Partie A} On note pour tout réel positif $\omega$ :  $G(\omega) = 20\log \left|H(\text{j}\omega)\right|$.

    \begin{enumerate}
    \item \textbf{Expression de la fonction} \boldmath$G$\unboldmath.
       	\begin{enumerate}
            \item Montrer que $H(j\omega) = \dfrac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_0}}$.
    		\item Calculer le module $\left|H(\text{j}\omega)\right|$.
    		\item En déduire que : $G(\omega) = -  \dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln \left(1 + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right)$.
    	\end{enumerate}
    \item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$G$\unboldmath.
    	\begin{enumerate}
    		\item Montrer que la fonction $G$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    		\item Déterminer $G(0)$, $G(\omega_0)$ et $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} G (\omega)$.
    		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $G$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    	\end{enumerate}

    \end{enumerate}

\bigskip

{\bf Partie B} On note $\varphi$ l'argument principal de $H(\text{j}\omega)$.

    \begin{enumerate}
    \item \textbf{Expression de la fonction} \boldmath$\varphi$\unboldmath.
       	
       Montrer que $\varphi(\omega) = -\arctan\dfrac{\omega}{\omega_0}$.

    \item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$G$\unboldmath
    	\begin{enumerate}
    		\item Montrer que la fonction $\varphi$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    		\item Déterminer $\varphi(0)$, $\varphi(\omega_0)$ et $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} \varphi (\omega)$.
    		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
    	\end{enumerate}

    \end{enumerate}

\end{document} 