\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[left=2.5cm,right=2.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot}
\usepackage{tikz}
\usepackage{setspace}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{graphicx}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\usepackage{qrcode}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{spreadtab} % pour une tabulation automatique
%\usepackage{enumitem} % pour des puces différentes dans des listes
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

\def\checked{\tikz\fill[scale=0.4](0,.35) -- (.25,0) -- (1,.7) -- (.25,.15) -- cycle;}

\def\boite#1#2/{\hskip 1cm\fbox{\begin{minipage}{#2\linewidth}\vrule height 15pt depth #1cm width 0pt\end{minipage}}}

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 2 }
\def\madate{ Mars 2025 }
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{\'Equations différentielles linéaires d'ordre 2}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Cira 1 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}
\setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\newcommand{\cor}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{CORRIG\'E~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\begin{multicols}{2}

\exo Basiques.

\begin{enumerate}

\item Résoudre $y'' + 3y' + 2y = 0$.

\item Résoudre $2y''+ 1y' - y = 0$.

\item Résoudre $y''+ 6y' + 9y = 0$.

\item Résoudre $y'' - 4y' + 4y = 0$.

\item Résoudre $y'' + 2y' + 2y = 0$.

\item Résoudre $y'' + 9 y = 0$.

\item Résoudre $y'' + 3y' + 2y = 5$.

\item Résoudre $y'' + 3y' + 2y = 2t+3$.

\item Résoudre $y'' + 3y' + 2y = \sin(t)$.

\item Résoudre $y'' + 3y' + 2y = 7e^{3t}$.

\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Pour obtenir les  corrigés c'est ici :
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\qrcode{http://stephane.le.meteil.free.fr/an2023/automates/eqdiff2/index.php}
\end{minipage}

\columnbreak

\exo Intermédiaires.

\begin{enumerate}

\item Résoudre $y''+y=t$

\item Résoudre $y''+ y'=0$.

\item Résoudre $y''+ 9y=0$.

\item Résoudre $y''+y'-2y=e^{t}$.

\item Résoudre $y'' +2y'+ y = e^{-t}$.

\item Résoudre $y'' +2y'+ 2y = e^{-t}\sin(t)$.

\item Résoudre $y''-8y'+7y = t^2e^{t}$.

\item Résoudre $y'''+2y''+y'+2y = 1$.

\item Résoudre $y'' + y = te^{4t}$ et $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.

\item Résoudre $2y'' + y' - 3y= 5e^t$ et $y(0) = 2$ et $y'(0) = -1$

\end{enumerate}

\end{multicols}

\exo Avec d'autres notations.

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}

\item Résoudre  $\dfrac{d^2}{dt^2}y(t)+25y(t) = 0$.

\item Résoudre  $\dfrac{d^2z}{dt^2}(t)-2z(t) = 5$.

\item Résoudre  $\dfrac{d^2}{dt^2}y(t) + \dfrac{dy}{dt}(t) + 2y(t) = t+1$.

\item Résoudre  $\dfrac{d^2}{dx^2}\varphi(x)-2\varphi(x) = x+1$.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\vskip 0.5cm

\exo

\medskip

On considère l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ suivante :

\[ y"(t) + 4 y(t) = 8 \quad 	\left(\text{E}_{1}\right)\]

où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la solution particulière constante de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$.
		\item  Déterminer la solution générale de l'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ et qui vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) =  0$ est définie sur $\R$ par :
		
\[f(t) = 2[1- \cos(2t)]. \]

		\item La fonction $f$ est périodique. En donner une période.
		
Préciser le maximum et le minimum de la fonction $f$.
		\item  Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[ 0~;~ 2\pi]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
