\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{  }
\def\madate{ Novembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\mathrm {d}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}

\DecimalMathComma

\def\ds{\displaystyle }

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{SERIE D'EXERCICES\\ sur les dérivées}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{CIRA\textsuperscript{1} }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{\bigskip
  \stepcounter{nexo}
  \vskip 1cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\newcounter{nf}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nf}{0}        % initialisation du numero

\def\f#1.{\bigskip
  \stepcounter{nf}
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}}


\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }
\setlength{\parindent}{0mm}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\begin{multicols}{3}

\f \dfrac{1}{2x+3}.

\f \dfrac{1}{3x+4}.

\f \dfrac{1}{4x+5}.

\f \dfrac{1}{4x-5}.

\f \dfrac{3}{2x+1}.

\f \dfrac{4}{2x+3}.

\f \dfrac{2}{1-5x}.

\f \dfrac{x+1}{x+2}.

\f \dfrac{x+2}{x+3}.

\f \dfrac{2x+1}{x+3}.

\f \dfrac{3x-1}{x+4}.

\f \dfrac{5x+6}{2x-3}.

\f \dfrac{x^2}{x+1}.

\f \dfrac{x^2+1}{x^2+2}.

\f \dfrac{1}{x^2+4x+1}.

\f \dfrac{2}{3x^2-5}.

\f \dfrac{8}{4+7x^2}.

\f \dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)}.

\f \dfrac{x^3}{x+3}.

\f \sqrt{3x+1}.

\f \sqrt{5x-2}.

\f \sqrt{1-7x}.

\f \sqrt{3x^2+9}.

\f \sqrt{x^2+7x-3}.

\f \cos (2x+3).

\f \sin (5x-4).

\f (2x+4)^3.

\f (5x-1)^3.

\f \dfrac{1}{\sqrt{x}}.

\f \sqrt{\dfrac{x+2}{x-2}}.

\end{multicols}


\exo Dans une plaque de 30cm sur 20 cm, on découpe quatre coins carrés de côtés $x$ puis on plie selon les pointillés pour réaliser un réceptacle. Le but est de déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume sera maximal. Pourra-t-on y verser 1 litre de lait ?

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\hfil\begin{pspicture*}(-1.1,-0.46)(7.52,3.34)
\pspolygon[linecolor=blue](0.,0.)(6.,0.)(6.,3.)(0.,3.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,1.)(1.,1.)(1.,0.)(0.,0.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,2.)(1.,2.)(1.,3.)(0.,3.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,3.)(5.,2.)(6.,2.)(6.,3.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,0.)(5.,1.)(6.,1.)(6.,0.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,linestyle=dotted,opacity=0.1](1.,1.)(5.,1.)(5.,2.)(1.,2.)
\rput[b](3,0.2){$30$}
\rput[b](0.5,0.2){$x$}
\rput{90}(-0.2,1.5){$20$}
\end{pspicture*}

\begin{enumerate}[a)]

\item Quelles sont les valeurs possibles pour la longueur $x$ ?

\item Montrer que le volume $V$ de la boite vérifie $V(x) = 4x^3-100x^2+600x$.

\item Calculer la dérivée $V'(x)$.

\item Déterminer le signe de $V'(x)$ en fonction de $x$.

\item En déduire les variations de $V(x)$ en fonction de $x$.

\item Montrer que $V(x)$ passe par un maximum pour une valeur de $x$ que vous déterminez.

\item Répondre alors à la question du problème.

\end{enumerate}
\end{document}
