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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 6 }
\def\madate{ Février 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{EXERCICE\\ équation différentielle et étude complète }}}}} %centre
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\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\def\f#1.{\bigskip
	\stepcounter{nf}
	\par{\textsf{\textbf{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}

\begin{document}

Pour fabriquer de l'aluminium en feuille on chauffe une plaque d'aluminium à 250\textcelsius{} puis
on la sort du four  : c'est alors la phase de refroidissement. On étudie l'évolution de la
température de la plaque d'aluminium durant cette phase.

On note $f(t)$ la température de la plaque d'aluminium à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en degré Celsius, et $t$ désigne le nombre de minutes de refroidissement.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{\large Partie A. Équation différentielle}

\medskip

On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
$(E) : \quad y' + 0,25y = 7,5 ,$
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable
sur l'intervalle $[0~; +\infty [$, et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
	\item  Résoudre l'équation différentielle :
	$ (E_0) :\quad  y' + 0,25y = 0.$
	
	On fournit la formule suivante :
		\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
			\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle I\\
			\hline
			$y' + ay = 0$ & $y(t) = k\e^{-a t},\quad k \in \R$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	
	\item   Soit $c$ un nombre réel.
	
	On considère la fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
	$g(t) = c.$
	Déterminer le réel $c$ pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation
	différentielle (E).
	\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
	\item Déterminer l'expression de la fonction $f$ sachant qu'à l'instant $t = 0$ la
	température est égale à 250~\textcelsius.
	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f(t) = 220\e^{-0,25t} + 30.$

On admet que $f(t)$ représente la température (en degré Celsius) de la plaque d'aluminium
après $t$ minutes de refroidissement.

\begin{enumerate}
	\item  Déterminer la valeur approchée à 0,1~\textcelsius{} de la température de la plaque après
	un quart d'heure de refroidissement.
	\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	
	Quelle est la conséquence pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
	
	Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	
	Déterminer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ .
	
	En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$.
	
	Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item Un technicien affirme : \og en cent secondes, la plaque a perdu cent degrés \fg.
	
	A-t-il raison? Quelle est la durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la
	température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} ?
	
	Les réponses devront être justifiées.
	\item Réaliser sur la copie un croquis donnant l'allure de la courbe représentative
	de la fonction $f$. Ce croquis devra également faire apparaître les résultats
	des questions \textbf{1} à \textbf{4}.
\end{enumerate}

\end{document} 