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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\Oijk{$(\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k})$}
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Décembre 2024}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices No\monnumero}}}}} %centre
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo % exo 38 de CORONA CIRA1 le corrigé existe

\begin{enumerate}
\item On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :

\[P(z) = z^3 + (2 - 2\text{i})z^2 + (4 - 4\text{i})z - 8\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que 2i est une solution de l'équation $P(z) = 0$.
		\item Démontrer que $P(z) = (z - 2\text{i})\left(z^2 + 2z + 4\right)$.
		\item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé }$(O\vect{u}\vect{v})$.
	
\emph{On réalisera une figure sur l'annexe donnée en dernière page du sujet.}

\medskip
	
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, et $z_{\text{C}} = - 2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des trois nombres complexes $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis les écrire en notation exponentielle.
		\item Placer les points A, B et C dans $(O\vect{u}\vect{v})$

On note $Z = \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}$.

		\item Déterminer la forme algébrique de $Z$.
		\item Calculer le module et un argument de $Z$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo % exo 62 de CORONA CIRA1 le corrigé existe

\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=0.7cm,linewidth=0.5pt}
\hfil\begin{pspicture}(7,4)

\pnode(0,3){A}    \pnode(2.5,3){B}
\pnode(2.5,2){C}\pnode(5.5,2){D}
\pnode(2.5,4){E}\pnode(5.5,4){F}
\psdot(A)\psdot(7.5,3)\psdot(0,0)\psdot(7.5,0)
\psline{-}(0,3)(A)
\resistor(A)(B){$\;R$}
\psline{-}(C)(E)
\psline{-}(D)(F)
\capacitor(C)(D){$\;C$}
\coil[dipolestyle=curved](E)(F){$\;L$}
\psline{-}(5.5,3)(7.5,3)
\psline{-}(0,0)(7.5,0)

\psline{->}(0,0.2)(0,2.8)
\psline{->}(7.5,0.2)(7.5,2.8)
\uput[l](7.6,1.5){$u_{out}(t)$}
\uput[l](0,1.5){$u_{in}(t)$}

\end{pspicture}

\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\small

$u_{in}$ la tension d'entrée, en volts (V) ;

$u_{oui}$ la tension de sortie, en volts (V) ;

$C$ la capacité électrique du condensateur, en farads (F) ;

$L$ l'inductance de la bobine, en henrys (H) ;

$R$ la résistance totale du circuit, en ohms ($\Omega$) ;

$t$ le temps en secondes (s)
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}

\item Montrer que l'impédance complexe équivalente est $Z_{eq} = R+j \dfrac{L\omega}{1-LC\omega^2}$ où $\omega$ est la pulsation de $u_{in}$

\item Comment se comporte ce circuit lorsque $\omega$ tend vers $0$ ?

\item Que devient la partie imaginaire de $Z_{eq}$ lorsque $\omega$ tend vers $+\infty$ ? Comment se comporte alors le circuit ?

\item Quelle est la limite de $|Z_{eq}|$ lorsque $\omega$ tend vers $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ ? Comment se comporte alors le circuit ?

\end{enumerate}

\eject


\exo %BTS groupement A de 2007

On désigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère un filtre dont la fonction de transfert $T$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

\[T(\omega) = \dfrac{- \text{j} \omega k}{1-\text{j}\dfrac{\omega}{2}}.\]

Le nombre $k$ est un nombre réel strictement positif compris entre 0 et 1.

En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfert $H$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[H(\omega)=\left(T(\omega)\right)^3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On note $r(\omega)$ le module de $H(\omega)$.\\
	On a donc : $r(\omega)=\left|H(\omega)\right|$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le module de $T(\omega)$ est $\dfrac{k\omega}{\sqrt{1+\dfrac{\omega^2}{4}}}$.
		\item En déduire $r(\omega)$.
	\end{enumerate}
	\vspace{1ex}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'un argument de $(-\text{j}\omega )^3$ est $\dfrac{\pi}{2}$.
		
		Justifier qu'un argument de $1 - \text{j}\dfrac{\omega}{2}$ est $-\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right)$.
		
		En déduire qu'un argument de $H(\omega)$, notée $\varphi(\omega)$, est défini sur $]0~;~+\infty[$ par :
		
		\[\varphi(\omega) = \dfrac{\pi}{2}+3\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right).\]
		
		\item On note $\varphi^{\prime}$ la dérivée de la fonction $\varphi$. Calculer $\varphi^{\prime}(\omega)$.
		
		Déterminer le signe de $\varphi^{\prime}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $\varphi$ en $0$ et $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\eject

\exo % exo 24 de CORONA CIRA1 le corrigé existe

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z$ : $z^2 - 8z + 64 = 0.$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}$,\: $b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 8\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument du nombre $a$.
		\item Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
		\item Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on déterminera le rayon.
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
		
\item On considère les points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, $b' = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $c' = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $b' = 8$.
		\item Calculer le module et un argument du nombre $a'$.
	\end{enumerate}
			
Pour la suite on admet que $a' = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c' = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$.

\item On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m + n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n - m|$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A$'$B],\: [B$'$C] et [C$'$A].
		
Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$.
		\item Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document} 