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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 2 }
\def\madate{ Novembre 2024}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\newcounter{nz}\setcounter{nz}{0}
\def\z#1.{\stepcounter{nz} \hskip 0.3cm $z_{\arabic{nz}} = #1$\bigskip}

\begin{document}



%MOTS complexe, opération.
\exo \qquad Additions, soustractions, multiples.\bigskip

Calculer $z_1+z_2$,\quad $z_1-z_2$ et $2z_1-3z_2$ dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}[a)]

\item $z_1 = 1+2i$\qquad et\qquad $z_2 = 3-4i$

\item $z_1 = \dfrac12-2i$\qquad et\qquad $z_2 = 3+\dfrac{i}{4}$

\end{enumerate}




%MOTS complexe, opération.
\exo \qquad Multiplication, puissances.\bigskip

Calculer $z_1\times z_2$,\quad $z_1^2$ et $z_2^3$ dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}[a)]

\item $z_1 = 1+2i$\qquad et\qquad $z_2 = 3-4i$

\item $z_1 = \dfrac{1+i}{\sqrt{2}}$\qquad et\qquad $z_2 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

\end{enumerate}




%MOTS complexe, opération.
\exo \qquad Inverses, quotients.

Calculer $\dfrac{1}{z_1}$,\quad  $\dfrac{1}{z_2}$ et  $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}[a)]

\item $z_1 = 1+2i$\qquad et\qquad $z_2 = 3-4i$

\item $z_1 = \dfrac{1+i}{\sqrt{2}}$\qquad et\qquad $z_2 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

\end{enumerate}




%MOTS complexe,forme algébrique.
\exo Calculer les complexes et les écrire sous la forme $a+ib$

\begin{multicols}{2}

\setcounter{nz}{0}
\z (1+3i)+(4-5i).

\z (2-5i)+(12+4i).

\z (7+5i)-(6-i).

\z (1+3i)\times(4-5i).

\z (2-5i)\times(2+4i).

\z (1+i)^2.

\z (7+5i)^2.

\z i^3.

\z (1+i)(6-i)^2.

\z i^{2017}.

\end{multicols}



%MOTS complexe, représentation.
\setcounter{nz}{0}
\exo Représenter les complexes suivants :

\begin{multicols}{2}

\z 1+i.

\z 1-i.

\z 2+3i.

\z -2+3i.

\z i.

\z -2i.

\z \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}.

\z \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}.

\z \dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}.

\z (1+i)\times(2+i).

\end{multicols}


%MOTS complexe, forme algébrique.
\exo Opérations.

\'Ecrire les nombres suivants sous la forme $A+iB$ où $A$ et $B$ sont des réels.

\bigskip

\begin{multicols}{2}

$z_1 = (2+3i)^2$

$z_2 = (2-3i)^2$

$z_3 = (3+2i)(1-i)$

$z_4 = \dfrac{1}{2+i}$

$z_5 = \dfrac{1}{5-2i}$

$z_6 = \dfrac{3}{1+i}$

$z_7 = \dfrac{3-2i}{1+i}$

$z_8 = \dfrac{i}{5+6i}$

$z_9 = \dfrac{\frac12 + 3i}{+\frac13i}$

$z_{10} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R}+j C\omega}$ lorsque $R$ et $C$ sont des réels strictement positifs et $j$ est le $i$ vu en mathématiques.

\end{multicols}




%MOTS complexe, forme algébrique.
\exo Ecrire sous forme algébrique

\begin{multicols}{3}

$z_1 = \dfrac{1+2i}{3-4i}$

$z_2 = (1+2i)^3$\vrule height 15pt depth 15pt width 0pt 

$z_3 = \dfrac{(1+i)^3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}}$

\end{multicols}



%MOTS complexe, forme algébrique.
\exo Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :

$z_1 = (3 + i)(4 - 2i)$\quad ,\quad $z_2 = (3 - i)^2$\quad ,\quad $z_3 = (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3})$



%MOTS  complexe, forme algébrique.
\exo Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :

$z_1 =\dfrac{2}{1 + i}$\quad,\quad $z_2 =\dfrac{1}{3 - i\sqrt{2}}$\quad,\quad $z_3 =
\dfrac{1}{i\sqrt{2}-3}$



%MOTS  complexe, forme algébrique.
\exo Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :

$z_1 =\dfrac{2 - 5i}{3 + 2i}$\quad,\quad $z_2 =\dfrac{6 + 3i}{1 - 2i}$\quad,\quad $z_3 =\dfrac{3i}{3 + 4i}$



%MOTS  complexe, forme algébrique.
\exo Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :

$z_1 = \dfrac{2}{1 - 2i}+\dfrac{3}{2 + i}$\quad,\quad $z_2 = 2i - \dfrac{3}{2 - i}$

\exo Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 - z$ avec $z = x + iy$, où $x$, $y$ sont des réels.

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $f(z)$.



%MOTS  complexe, forme algébrique.
\exo Donner la forme algébrique du conjugué $z$ du complexe z dans chacun des cas suivants :

$z_1 = 2 + 5i$,\quad $z_2 =\dfrac{1}{i + 2}$\quad,\quad $z_3 =\dfrac{2 - i}{2i + 1}$\quad,\quad $z_4 = (3 - 2i)(i + 1)$\quad,\quad $z_5 =\frac{i(3 - 2i)}{2i + 1}$



%MOTS  complexe, équation 1er degré.
\exo Résoudre dans $\C$ les équations suivantes d'inconnue $z$ et donner les solutions sous forme algébrique.

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[a)]
\item $ iz = 3 + i$
\item  $(2 - i)z - 2i = iz + 2 - 3i$
\item $(2iz + i)(4z - 8 - 4i) = 0$
\item $\dfrac{z - 2i}{z + 2}= 4i$
\item $4z + 2i - 4 = 0$
\item $(iz - 2 + i)(2iz + i - 2) = 0$
\item $2z + i\times{\overline z} = 4$
\item $2iz - {\overline z} = 4i$
\end{enumerate}

\end{multicols}

%MOTS  complexe, système.
\exo Résoudre dans $\C$ les systèmes suivants :

\hfil$\left\{\begin{matrix}3z+z'&=&2-5i\cr z-z' &=& -2+i\end{matrix}\right.$
\hskip 2cm
$\left\{\begin{matrix}3z+z'&=&5+2i\cr -z+z' &=& 1-2i\end{matrix}\right.$



%MOTS  complexe, puissance.
\exo On considère le complexe $z=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

\begin{enumerate}

\item Calculer $z^2$ puis $z^3$

\item En déduire $z^4$ puis $z^{12}$ puis $z^{2019}$

\item Calculer $1+z+z^2$ puis $1+z+z^2+\cdots+z^{11}$

\end{enumerate}




%MOTS  complexe, polynôme.
\exo  On considère le polynôme  $P$ défini par $P(z)=z^4-1$

\begin{enumerate}

\item Montrer que $P(z) = (z+1)(z-1)(z^2+1)$

\item En déduire les solutions de $P(z) = 0$

\end{enumerate}




%MOTS  complexe, équation.
\exo Montrer que $\forall z\in\C$ tel que $z\notin\R_-$, on a : $\left(\dfrac{z+|z|}{\sqrt{Re(z)+|z|}}\right)^2 = 2z$




%MOTS  complexe, ligne de niveau.
\exo Déterminer l'ensemble de points $M$ d'affixes $z$ tels que :
\setcounter{nz}{0}
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[a)]
  \item Re$(z) = 3$
  \item Im$(z) =2$
  \item $|z| = 5$
  \item $|z-3| = 1$
  \item $|z+2| = \frac12$
  \item $|2z+3i| = 1$
  \item $|z-4| = |z+4i|$
\end{enumerate}

\end{multicols}

\exo On considère un système électronique régi par la fonction de transfert

$T(\omega) =\dfrac{R}{R+jL\omega}$ où $R$, $L$,  $\omega$ sont des réels strictement positifs et $j^2$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $T(\omega) = \dfrac{1}{1+j\frac{L}{R}\omega}$
	\item Ecrire sous forme algébrique la valeur de $T(\omega_0)$ où $\omega_0 = \dfrac{R}{L}$
	\item On appelle gain du système la fonction $G$ définie par $G(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}}$
	\begin{enumerate}
		\item \vskip -1cm Calculer $G(\omega_0)$
		\item Que devient $G$ lorsque $\omega$ tend vers $0_+$ ?
		\item Que devient $G$ lorsque $\omega$ tend vers $+\infty$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document} 