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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\doublespacing

Rappels : présentation soignée, exercices clairement séparés, résultats encadrés, tableaux à la règle et au crayon.

\exo On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \frac12x^2+5x+2025$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
    \item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Montrer que $f$ admet un minimum dont on donnera la position et la valeur exacte.
\end{enumerate}

\exo On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = (2x^2+10x-5)e^{-2x}$

\begin{enumerate}
	\item Résoudre $f(x)=0$ et interpréter graphiquement le résultat.
	\item Montrer que $f'(x)= -4(x-1)(x+5)e^{-2x}$.
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Montrer que $f$ admet un maximum dont on donnera la position et la valeur exacte.
	\item \'Etablir une équation de la tangente en $0$.
\end{enumerate}

\exo Une étude est menée concernant le train d'atterrissage d'un certain type d'hélicoptère. 

Ce train d'atterrissage est composé d'une roue et d'un amortisseur oléopneumatique permettant d'absorber l'énergie de l'impact au moment de l'atterrissage.

\medskip

On note $f(t)$ la hauteur, en mètre, du centre de gravité de l'hélicoptère par rapport au sol à l'instant $t$ exprimé en seconde.

\newpage

On suppose que $f$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

On admet que la fonction $f$ correspondant à la hauteur du centre de gravité de l'hélicoptère est définie sur $[0~;~+\infty[$ par  

\[f(t)= - \text{e}^{-t} + 1,5\text{e}^{-2t} + 2.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

\begin{center}
	\psset{unit=2cm,comma=true}
	\begin{pspicture*}(-0.4,-0.3)(4.75,3.25)
		\psgrid[gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.1pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(4.75,3.25)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(4.75,3.25)
		\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4.75}{2 1.5 2.71828 2 x mul exp div add  2.71828 x neg exp sub}
		\uput[u](0.5,2.1){\red $\mathcal{C}$}
	\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la hauteur du centre de gravité de l'hélicoptère au moment de l'atterrissage à
	l'instant $t=0$.
	\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-t} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-2t}= 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.
		\item En donner une interprétation technique.	
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
		\item Montrer que la dérivée peut s'écrire : $f'(t) = \text{e}^{-2t}\left(\text{e}^{t} - 3\right)$.
		\item Résoudre sur $[0~;~ + \infty[$ l'inéquation $\text{e}^{t} - 3 \geqslant 0$. 
		\item En déduire le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~ + \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
