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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Novembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret.\\ \madate.}}} %gauche
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\doublespacing

\exo On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \frac12x^2+5x+2025$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	
	{\red $f(x) = x+5$}
	
    \item \'Etudier les variations de $f$.
    
    {\red $f'(x) = 0$ ssi $x=-5$ et $f'$ est affine strictement croissante sur $\R$
    
    on a donc le tableau de variation suivant : 
    
    
    
    \begin{tikzpicture}
    	\tkzTabInit{$x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$-5$,$+\infty$}
    	\tkzTabLine{ ,-,z,+}
    	\tkzTabVar{+/ ,-/$f(-5)$,+/$0$}
    \end{tikzpicture}
    
    }
    
	\item Montrer que $f$ admet un minimum dont on donnera la position et la valeur exacte.
	
	{\red $f$ est strictement décrosisante sur $]-\infty;-5[$ puis strictement croissante sur $]-5;+\infty[$ et $f$ est continue sur $\R$ donc $f$ admet un minimum en $x=-5$ donc la valeur est $f(-5) = 2012,5$}
	
\end{enumerate}

\exo On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = (2x^2+10x-5)e^{-2x}$

\begin{enumerate}
	\item Résoudre $f(x)=0$ et interpréter graphiquement le résultat.
	
	{\red $f(x) = 0$ équivaut à $(2x^2+10x-5)e^{-2x} = 0$ donc à $e^{-2x} = 0$ ou $2x^2+10x-5=0$
	
	Comme $e^{-2x}\neq0$, on résout $2x^2+10x-5=0$
	
	$\Delta= 100+40 = 140>0$ il y a deux racines 
	
	$x_1=\dfrac{-10-\sqrt{140}}{2\times 2}<0$ et $x_2=\dfrac{-10+\sqrt{140}}{2\times 2} = -\dfrac52+\dfrac{\sqrt{35}}{2}>0$
	
	Comme $f$ n'est définie que sur $\R^+$, on ne garde qu'une solution $S=\left\{-\dfrac52+\dfrac{\sqrt{35}}{2}\right\}$
	
	La courbe représentant $f$ ne coupe qu'une fois l'axe des abscisses, c'est en $x_2$
	}
	
	\item Montrer que $f'(x)= -4(x-1)(x+5)e^{-2x}$.
	
	{\red $f$ est un produit $u\times v$ de dérivée $u'\times v+ u\times v'$
	
	ici $u=2x^2+10x-5$ donc $u'=4x+10$
	
	et $v=e^{-2x}$ donc $v'= e^{-2x}\times (-2)$
	
	Cela donne : $f'(x) = (4x+10)e^{-2x}+(2x^2+10x-5)e^{-2x}(-2) = e^{-2x}\times (4x+10-4x^2-20x+10)$
	
	En ordonnant les termes, on a : $f'(x) = e^{-2x}\times (-4x^2-16x+20)$
	
	Factorisons ce trinôme. On a : $\Delta = (-16)^2-4\times (-4)\times 20 = 256+320 = 576=24^2>0$
	
	Il y a deux racines : $x_1 = \dfrac{-(-16)-24}{2\times (-4)}= 1$ et $x_1 = \dfrac{-(-16)+24}{2\times (-4)}= -5$
	
	La factorisation est alors $-4x^2-16x+20 = -4\times (x-1)(\times (x-(-5)) = -4(x-1)(x+5)$
	
	La dérivée est alors $f'(x) = -4(x-1)(x+5)e^{-2x}$
	
	}
	
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	
	{\red En utilisant la factorisation fournie, on pouvait construire le tableau suivant :
	
	 \begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1, $-4$/1, $(x-1)$/1, $(x+5)$/1, $e^{-2x}$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$0$,$1$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{ ,-,t,-}
		\tkzTabLine{ ,-,z,+}
		\tkzTabLine{ ,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,+,z,-}
		\tkzTabVar{-/ ,+/$f(1)$,-/$0$}
	\end{tikzpicture}
	
	}
	
	\item Montrer que $f$ admet un maximum dont on donnera la position et la valeur exacte.
	
	{\red $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$ puis strictement croissante sur $]1;+\infty[$ et $f$ est continue sur $\R$ donc $f$ admet un maximum en $x=1$ donc la valeur est $f(1) = 7e^{-2}$}
	
	
	\item \'Etablir une équation de la tangente en $0$.
	
	{\red Son équation a pour forme $y=f'(0)\times (x-0)+f(0)$ or $f'(0) = 20$ et $f(0) = -5$ donc $y=20x-5$ }
	
\end{enumerate}

\exo Une étude est menée concernant le train d'atterrissage d'un certain type d'hélicoptère. 

Ce train d'atterrissage est composé d'une roue et d'un amortisseur oléopneumatique permettant d'absorber l'énergie de l'impact au moment de l'atterrissage.

\medskip

On note $f(t)$ la hauteur, en mètre, du centre de gravité de l'hélicoptère par rapport au sol à l'instant $t$ exprimé en seconde.

On suppose que $f$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

On admet que la fonction $f$ correspondant à la hauteur du centre de gravité de l'hélicoptère est définie sur $[0~;~+\infty[$ par  

\[f(t)= - \text{e}^{-t} + 1,5\text{e}^{-2t} + 2.\]

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

\begin{center}
	\psset{unit=2cm,comma=true}
	\begin{pspicture*}(-0.4,-0.3)(4.75,3.25)
		\psgrid[gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.1pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(4.75,3.25)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(4.75,3.25)
		\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4.75}{2 1.5 2.71828 2 x mul exp div add  2.71828 x neg exp sub}
		\uput[u](0.5,2.1){\red $\mathcal{C}$}
	\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la hauteur du centre de gravité de l'hélicoptère au moment de l'atterrissage à
	l'instant $t=0$.
	
	{\red A $t=0$, on lit $f(0) = 2,5$, le centre de gravité se situé à une hauteur de 2,5m à l'instant initial.}
	
	\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-t} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-2t}= 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.
		
		{\red $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = -0+1,5\times 0 +2 = 2$}
		
		\item En donner une interprétation technique.	
		
		{\red La position du centre de gravité se stabilise à 2m au bout d'un certain temps}
		
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
		
		{\red La fonction semble décroissante sur $[0;1]$ puis croissante sur $[1;+\infty[$}
		
		\item Montrer que la dérivée peut s'écrire : $f'(t) = \text{e}^{-2t}\left(\text{e}^{t} - 3\right)$.
		
		{\red $f'(t) = -(-1)e^{-t}+1,5\times (-2)\times e^{-2t} +0 = e^{-t}-3e^{-2t} = e^{-2t}\times (e^{t}-3)$}
		
		\item Résoudre sur $[0~;~ + \infty[$ l'inéquation $\text{e}^{t} - 3 \geqslant 0$. 
		
		{\red  $\text{e}^{t} - 3 \geqslant 0$ ssi $e^t = 3$ ssi $t=\ln(3)$ mais on pouvait ici juste obtenir une valeur approchée en lisant le graphe de la fonction exponentielle sur sa calculatrice. On obtenait $x\approx1,10$}
		
		\item En déduire le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~ + \infty[$.
		
		{\red \begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$t$/1, $e^t-3$/1, $e^{-2t}$/1, $f'(x)$/1}{$0$,$ln(3)$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{ ,-,z,+}
			\tkzTabLine{ ,+,t,+}
			\tkzTabLine{ ,-,z,+}
		\end{tikzpicture}}
		
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
		
		{\red \begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$t$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$0$,$ln(3)$,$+\infty$}
				\tkzTabLine{ ,-,z,+}
				\tkzTabVar{+/ ,-/$f(1)$,+/$0$}
		\end{tikzpicture}}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
