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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Octobre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret.\\ \madate.}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Bilan 2\textsuperscript {nd} degré.\\Corrigé.}}}}} %centre
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%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.8cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\def\pts#1.{\hskip -4.5cm{\small \blue #1 pts}\hskip 3.5cm }

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\doublespacing

Rappels : présentation soignée, exercices clairement séparés, résultats encadrés, tableaux à la règle et au crayon.

\exo \pts3.\'Ecrire la forme canonique de :

$P(x) = x^2-8x+1$\hfil$Q(x) = x^2+3x+4$


{\red $P(x) = (x-4)^2-16+1 = (x-4)^2-15$
	
	$Q(x) = (x+1,5)^2-2,25+4 = (x+1,5)^2+1,75$}\vskip 0.5cm

\exo\pts3. Factoriser avec la méthode de votre choix:

$P(x) = x^2+4x+3$\hfil$Q(x) = 3x^2+3x-6$

{\red Avec sa forme canonique : 

$P(x) = (x+2)^2-4+3 = (x+2)^2-1 = (x+2)^2-1^2 = (x+2-1)(x+2+1)=(x+1)(x+3)$


Avec le discriminant : 

{\singlespacing Pour $Q$, on  a $\begin{cases}a=3\cr b=3\cr c=-6\end{cases}$} donc $\Delta = 9-4\times 3\times(-6)=81>0$.

On calcule alors $x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{81}}{2\times 3} = \dfrac{-3-9}{6} = -2$ \quad et \quad $x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{81}}{2\times 3} = \dfrac{-3+9}{6} = 1$

donc $f(x) = 3(x-(-2))(x-1) = 3(x+2)(x-1)$

}

\exo\pts3. Résoudre avec la méthode de votre choix:

$5x^2+4x-9=0$\hfil$4x^2-4x+1=0$

{\red Avec le discriminant : 
	
{\singlespacing Pour la première équation, on  a $\begin{cases}a=5\cr b=4\cr c=-9\end{cases}$} donc $\Delta = 16+180=196>0$.

On calcule alors $x_1 = \dfrac{-4-\sqrt{196}}{2\times 5} = \dfrac{-4-14}{10} = -\frac95$ \quad et \quad $x_2 = \dfrac{-4+\sqrt{196}}{2\times 5} = \dfrac{10}{10} = 1$

On a donc $\mathscr{S} = \left\{-\frac95 ; 1\right\}$

\goodbreak

{\singlespacing Pour la seconde équation, on  a $\begin{cases}a=4\cr b=-4\cr c=1\end{cases}$} donc $\Delta = 16-16=0$.

On calcule alors $x_0 = \dfrac{-(-4)}{2\times 4} = \dfrac{-(-4)}{8} = \dfrac48 = \frac12$ 

On a donc $\mathscr{S} = \left\{\frac12 \right\}$


}

\exo\pts4. \'Etablir le tableau de signe de

$P(x) = x^2+3x-10$\hfil $Q(x) = -5x^2-4x+1$

{\red Avec le discriminant : $\Delta = 9+40 = 49>0$ puis $x_1=\dfrac{-3-7}{2} = -5$ et $x_2 = \dfrac{-3+7}{2} = 2$

On peut alors écrire : \vskip-1cm
{\singlespacing\renewcommand{\arraystretch}	{1}\def\tvi{\vrule height 10pt depth 5pt width 0pt }
$$ \begin{array}{ |c|      l ccc cc r|}
	\hline\tvi         x               &-\infty  &     & -5 &     & 2 &     &+ \infty  \\ 
	\hline\tvi  1  &         &  +  &     &  +  &     &  +  &           \\
	\hline\tvi     (x+5)             &         &  -  &  0  &  +  &  |  &  +  &           \\ 
	\hline\tvi     (x-2)             &         &  -  &  |  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
	\hline\tvi       P(x)              &         &  +  &  0  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
	\hline\end{array} $$ 
}\vskip 0.5cm

Avec le discriminant : $\Delta = 16+20 = 36>0$ puis $x_1=\dfrac{4-6}{-10} = \dfrac15$ et $x_2 = \dfrac{4+6}{-10} = -1$

On peut alors écrire : \vskip-1cm
{\singlespacing\renewcommand{\arraystretch}	{1}\def\tvi{\vrule height 10pt depth 5pt width 0pt }
	$$ \begin{array}{ |c|      l ccc cc r|}
		\hline\tvi         x               &-\infty  &     & -1 &     &\frac15  &     &+ \infty  \\ 
		\hline\tvi  -3  &         &  -  &     &  -  &     &  -  &           \\
		\hline\tvi     (x+1)             &         &  -  &  0  &  +  &  |  &  +  &           \\ 
		\hline\tvi     (x-\frac15)             &         &  -  &  |  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
		\hline\tvi       P(x)              &         &  -  &  0  &  +  &  0  &  -  &           \\ 
		\hline\end{array} $$ 
}

 }

\exo\pts4. Résoudre les inéquations suivantes : 

$x^2-5x+4<0$\hfil $(2x+3)(1-4x)(x+2)\geqslant 0$ 

{\red Avec le discriminant : $\Delta = 25-16 = 9>0$ puis $x_1=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $x_2 = \dfrac{5+3}{2} = 4$
	
	On peut alors écrire : \vskip-1cm
	{\singlespacing\renewcommand{\arraystretch}	{1}\def\tvi{\vrule height 10pt depth 5pt width 0pt }
		$$ \begin{array}{ |c|      l ccc cc r|}
			\hline\tvi         x               &-\infty  &     & 1 &     & 4 &     &+ \infty  \\ 
			\hline\tvi  1  &         &  +  &     &  +  &     &  +  &           \\
			\hline\tvi     (x-1)             &         &  -  &  0  &  +  &  |  &  +  &           \\ 
			\hline\tvi     (x-4)             &         &  -  &  |  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
			\hline\tvi       P(x)              &         &  +  &  0  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
			\hline\end{array} $$ 
	}
	
	On a donc $x^2-5x+4<0$ si et seulement si $x\in]1;4[$
	
	\vskip 0.5cm\goodbreak
	
	Pour  $(2x+3)(1-4x)(x+2)\geqslant 0$, on peut déjà écrire : \vskip-0.5cm
	{\singlespacing\renewcommand{\arraystretch}	{1}\def\tvi{\vrule height 10pt depth 5pt width 0pt }
		$$ \begin{array}{ |c|      l ccccc cc r|}
			\hline\tvi         x       &-\infty  &     & -2  &     &-\frac32&     &\frac14&     &+ \infty  \\ 
			\hline\tvi     (2x+3)      &         &  -  &     &  -  &  0     &  +  &       &  +  &           \\ 
			\hline\tvi     (1-4x)      &         &  +  &     &  +  &        &  +  &  0    &  -  &          \\ 
			\hline\tvi     (x+2)       &         &  -  &  0  &  +  &        &  +  &       &  +  &           \\ 
			\hline\tvi    produit      &         &  +  &  0  &  -  &  0     &  +  &  0    &  -  &           \\ 
			\hline\end{array} $$ 
	}
	
		On a donc  $(2x+3)(1-4x)(x+2)\geqslant 0$  si et seulement si $x\in]-\infty;-2]\cup [-\frac32;\frac14]$
	
}

\exo \pts3.

1) Montrer que $(x-2)(x^2+3x-10) = x^3+x^2-16x+20$

{\red En développant, on a : $(x-2)(x^2+3x-10) = x^3+3x^2-10x-2x^2-6x+20 = x^3+x^2-16x+20$}

2) Résoudre $x^3+x^2-16x+20 = 0$

{\red $x^3+x^2-16x+20 = 0$ équivaut donc à $(x-2)(x^2+3x-10) = 0$

or $(x-2)(x^2+3x-10) = 0$ ssi $x=2$ ou $x^2+3x-10 = 0$

dans l'exercice 4, on a vu que $x^2+3x-10 = 0$ ssi $x=2$ ou $x=5$

finalement : $x^3+x^2-16x+20 = 0$ ssi $x\in\{2;2;5\}$

}\vskip0.5cm

BONUS : résoudre\pts1. $x^3+x^2-16x+20 = x^2+20$

{\red $x^3+x^2-16x+20 = x^2+20$ ssi $x^3-16x=0$ ssi $x(x^2-16)=0$ ssi $x(x-4)(x+4)=0$

donc $x=0$ ou $x=-4$ ou $x=4$

}



\end{document}
