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\def\ds{\displaystyle }
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Septembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\doublespacing

\exo Résoudre $6x+1 = -4x+7$

{\red $6x+1 = -4x+7$ équivaut à $6x+4x = 7-1$ puis à  $10x = 6$  puis à $x=\dfrac{6}{10} = \dfrac35$ donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{\dfrac35\right\}$}}

\exo Résoudre l'inéquation $5x+4 > 11x$

{\red $5x+4 > 11x$  équivaut à $-6x>4$  puis à $x<\dfrac{4}{-6}$ donc à $x<\dfrac{-2}{3}$ donc \fbox{$\mathcal{S}=\left]-\infty; \dfrac23\right[$ } }

\exo Déterminer le tableau de signe de la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = -\frac13x +2$

{\red $-\dfrac13x +2 = 0$ équivaut à $-\dfrac13x = -2$ puis à  $x = 6$  
	
	par ailleurs $f$ est une fonction affine décroissante car le coefficient de $x$ est négatif. On a donc le tableau de signe suivant : 
	
	\hfil\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , $-\frac13x+2$ / 1}{$~-\infty$, $6$, $+\infty~$}
		\tkzTabLine{,+, z, -,}
	\end{tikzpicture}
}

\exo Factoriser les expressions : $f(x) = x^2+5x-14$ \qquad $f(x) = 9-4x^2$ 

{\red 

$\bullet\qquad f(x) = x^2+5x-14$

son discriminant est $\Delta = 5^2-4\times 1\times (-14) = 25+56 = 81 > 0$

Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-5-\sqrt{81}}{2\times 1} = \dfrac{-5-9}{2} = -7$ et $x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{81}}{2\times 1}  = \dfrac{-5+9}{2} = 2$

donc la factorisation est $f(x) = 1(x-(-7))\times (x-2)$ 

c'est à dire \fbox{$f(x)  =(x+7)(x-2)$}

\bigskip

$\bullet  f(x) = 9-4x^2$  on peut utiliser la même technique ou reconnaître $A^2-B^2$

ici $f(x) = 9-4x^2 = 3^2-(2x)^2$ donc \fbox{$f(x) =(3-2x)(3+2x)$}
}

\exo Résoudre les équations suivantes : 

\hfil $(E_1)\quad x^2-5x+6 = 0\qquad (E_2)\quad 4x^2+4x+1=0\qquad (E_3)\quad x^2+3x = 18$

{\red 
	
$(E_1)\quad x^2-5x+6 = 0$

Son discriminant est $\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 6 = 25-24 = 1 >0$

Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{5-1}{2} = \dfrac42=2$ 
              et $x_2 = \dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{5+1}{2} = \dfrac62=3$

donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{2;3\right\}$}


\bigskip\goodbreak

$(E_2)\quad 4x^2+4x+1=0$

Son discriminant est $\Delta = 4^2-4\times 1\times 4 = 16-16 = 0$

Sa racine est $x_0  =\dfrac{-4}{2\times 4} = \dfrac{-4}{8} = -\dfrac12$ 

donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{-\dfrac12\right\}$}

\bigskip

$(E_3)\quad x^2+3x = 18$. On commence par lui donner le forme attendue : $x^2+3x - 18 = 0$

Son discriminant est $\Delta = 3^2-4\times 1\times (-18) = 9+72 = 81 >0$

Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-3-\sqrt{81}}{2\times 1} = \dfrac{-3-9}{2} = -6$ 
et $x_2  =\dfrac{-3+\sqrt{81}}{2\times 1} = \dfrac{-3+9}{2} = 3$ 

donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{-6;3\right\}$}

}


\exo Déterminer le tableau de signe de la fonction définie sur $\R$ par :  

\hfil$f(x) = -x^2+4x-3$ puis résoudre $f(x)<0$

{\red On recherche ses racines : 
	
	Son discriminant est $\Delta = 4^2-4\times (-1)\times (-3) = 16-12=4 >0$
	
	Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times (-1)} = \dfrac{-4-2}{-2} = 3$ 
	et  $x_2  =\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times (-1)} = \dfrac{-4+2}{-2} = 1$ 

Donc $f(x)$ est en fait le produit : $f(x) = (-1)(x-1)(x-3)$

On peut alors dresser le tableau de signes : \bigskip

\hfil\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
	\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , $-1$/1, $x-1$ / 1,$x-3$ / 1,$f(x)$ /1}{$~-\infty$, $1$, $3$, $+\infty~$}
	\tkzTabLine{,-, t, -, t, -,}
	\tkzTabLine{,-, z, +, t, +,}
	\tkzTabLine{,-, t, +, z, +,}
	\tkzTabLine{,-, z, +, z, -,}
\end{tikzpicture}

\bigskip On peut alors lire les solutions de $f(x)<0$ : on lit \fbox{$x\in~~]-\infty;1[~\cup~]3;+\infty[$}

}

\exo Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine vérifiant :
	
\hfil $f(3)=3$ et $f(6)=1$ puis calculer $f(10)$.

{\red 

Puisque la fonction est affine, son expression est de la forme : $f(x) = ax+b$ 

avec $a= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ et $b= y_A-a\times x_A$

donc $a=\dfrac{1-3}{6-3} = \dfrac{-2}{3}$ et $b = 3-3\times \dfrac{-2}{3} = 3+2 = 5$ \qquad donc \fbox{$f(x) = -\dfrac23x+5$	}

Puis on peut alors calculer $f(10) = -\dfrac{20}{3}+5$ donc \fbox{$f(10) = \dfrac{-5}{3}$ }
	
}
\exo Déterminer les expressions algébriques des fonctions affines dont les graphes sont dessinés ici : \bigskip

	\hfil\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.5cm,y=1cm]
	\draw [color=black,dotted, xstep=.75cm,ystep=0.5cm] (-4.,-3.5) grid (4.,4.5);
	\draw[->,color=black] (-4.,0.) -- (4.,0.);
	\foreach \x in {1}
	\draw[shift={(\x,0)},color=black,line width=2pt] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[above] {\small $~\x$};
	\draw[->,color=black] (0.,-3.5) -- (0.,4.5);
	\foreach \y in {1}
	\draw[shift={(0,\y)},color=black,line width=2pt] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $~\y$};
	\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[left] {\footnotesize $0$};
	\clip(-4.,-3.5) rectangle (4.,4.5);
	\draw[line width=2pt,color=blue,smooth,samples=100,domain=-4.0:4.0] plot(\x,{-2.0});
	\draw[line width=2pt,color=brown,smooth,samples=100,domain=-4.0:4.0] plot(\x,{-0.5*(\x)+1.25});
	\draw[line width=2pt,color=Green4,smooth,samples=100,domain=-4.0:4.0] plot(\x,{0.66667*(\x)-1.0});
		\begin{scriptsize}
		\draw[color=black] (-3.5,-1.5) node {\large $\mathscr{D}_1$};
		\draw[color=black] (-3.5,3.5) node {\large $\mathscr{D}_2$};
		\draw[color=black] (3,1.5) node {\large $\mathscr{D}_3$};
		\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}

{\red $\mathscr{D}_1$ est horizontale et passe par $(0;-2)$ donc son équation est \fbox{$y=-2$}
	
	\vskip 1cm
	
	$\mathscr{D}_2$ passe par $A(-2,5;2,5)$ et $B(2,5;0)$
	
	donc $a= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{0-2,5}{2,5-(-2,5)} = \dfrac{-1}{2}$ et $b= y_B-a\times x_B = \dfrac{5}{4}$  
	
	donc son équation est \fbox{$y=-\dfrac12x+\dfrac54$}

	\vskip 1cm
	
	$\mathscr{D}_3$ passe par $C(-1,5;-2)$ et $D(1,5;0)$
	
	donc $a= \dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C} = \dfrac{0-(-2)}{1,5-(-1,5)} = \dfrac23$ et $b= y_D-a\times x_D = -1$  
	
	donc son équation est \fbox{$y=\dfrac23x-1$}

\newpage % ################################################################################

\exo Résoudre $6x-3 = -2x+7$

{\red $6x-3 = -2x+7$ équivaut à $6x+2x = 7+3$ puis à  $8x = 10$  puis à $x=\dfrac{10}{8} = \dfrac54$ donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{\dfrac54\right\}$}}

\exo Résoudre l'inéquation $5x+4 <24x$

{\red $5x+4 <24x$  équivaut à $-19x<-4$  puis à $x>\dfrac{4}{19}$ car $-19<0$ donc le sens change donc \fbox{$\mathcal{S}=\left]\dfrac{4}{19},+\infty\right[$ } }

\exo Déterminer le tableau de signe de la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \frac13x -2$

{\red $\dfrac13x -2 = 0$ équivaut à $\dfrac13x = 2$ puis à  $x = 6$  
	
	par ailleurs $f$ est une fonction affine croissante car le coefficient de $x$ est positif. On a donc le tableau de signe suivant : 
	
	\hfil\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , $\frac13x-2$ / 1}{$~-\infty$, $6$, $+\infty~$}
		\tkzTabLine{,-, z, +,}
	\end{tikzpicture}
}

\exo Factoriser les expressions : $f(x) = x^2+6x-7$ \qquad $f(x) = 4-9x^2$ 

{\red 
	
	$\bullet\qquad f(x) = x^2+6x-7$
	
	son discriminant est $\Delta = 6^2-4\times 1\times (-7) = 36+28 = 64 > 0$
	
	Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-6-\sqrt{64}}{2\times 1} = \dfrac{-6-8}{2} = -7$ et $x_2 = \dfrac{-6+\sqrt{64}}{2\times 1}  = \dfrac{2}{2} = 1$
	
	donc la factorisation est $f(x) = 1(x-(-7))\times (x-1)$ 
	
	c'est à dire \fbox{$f(x)  =(x+7)(x-1)$}
	
	\bigskip
	
	$\bullet  f(x) = 4-9x^2$  on peut utiliser la même technique ou reconnaître $A^2-B^2$
	
	ici $f(x) = 4-9x^2 = 2^2-(3x)^2$ donc \fbox{$f(x) =(2-3x)(2+3x)$}
}

\exo Résoudre les équations suivantes : 

\hfil $(E_1)\quad x^2+5x+6 = 0\qquad (E_2)\quad 4x^2-4x+1=0\qquad (E_3)\quad x^2+3x = 10$

{\red 
	
	$(E_1)\quad x^2+5x+6 = 0$
	
	Son discriminant est $\Delta = (5)^2-4\times 1\times 6 = 25-24 = 1 >0$
	
	Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{-5-1}{2} = -\dfrac62=-3$ 
	et $x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{-5+1}{2} = -\dfrac42=-2$
	
	donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{-2;-2\right\}$}
	
	
	\bigskip\goodbreak
	
	$(E_2)\quad 4x^2-4x+1=0$
	
	Son discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 1\times 4 = 16-16 = 0$
	
	Sa racine est $x_0  =\dfrac{4}{2\times 4} = \dfrac{4}{8} = \dfrac12$ 
	
	donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{\dfrac12\right\}$}
	
	\bigskip
	
	$(E_3)\quad x^2+3x = 10$. On commence par lui donner le forme attendue : $x^2+3x - 10 = 0$
	
	Son discriminant est $\Delta = 3^2-4\times 1\times (-10) = 9+40 = 49 >0$
	
	Ses racines sont $x_1  =\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2\times 1} = \dfrac{-3-7}{2} = -5$ 
	et $x_2  =\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2\times 1} = \dfrac{-3+7}{2} = 2$
	
	donc \fbox{$\mathcal{S}=\left\{-5;2\right\}$}
	
}


\exo Déterminer le tableau de signe de la fonction définie sur $\R$ par :  

\hfil$f(x) = -x^2-4x-3$ puis résoudre $f(x)<0$

{\red On recherche ses racines : 
	
	Son discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times (-1)\times (-3) = 16-12=4 >0$
	
	Ses racines sont $x_1  =\dfrac{4-\sqrt{4}}{2\times (-1)} = \dfrac{4-2}{-2} = -1$ 
	et  $x_2  =\dfrac{4+\sqrt{4}}{2\times (-1)} = \dfrac{4+2}{-2} = -3$ 
	
	Donc $f(x)$ est en fait le produit : $f(x) = (-1)(x+1)(x+3)$
	
	On peut alors dresser le tableau de signes : \bigskip
	
	\hfil\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , $-1$/1, $x+1$ / 1,$x+3$ / 1,$f(x)$ /1}{$~-\infty$, $-3$, $-1$, $+\infty~$}
		\tkzTabLine{,-, t, -, t, -,}
		\tkzTabLine{,-, z, +, t, +,}
		\tkzTabLine{,-, t, +, z, +,}
		\tkzTabLine{,-, z, +, z, -,}
	\end{tikzpicture}
	
	\bigskip On peut alors lire les solutions de $f(x)<0$ : on lit \fbox{$x\in~~]-\infty;-3[~\cup~]-1;+\infty[$}
	
}

\exo Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine vérifiant :

\hfil $f(6)=12$ et $f(18)=8$ puis calculer $f(10)$.

{\red 
	
	Puisque la fonction est affine, son expression est de la forme : $f(x) = ax+b$ 
	
	avec $a= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ et $b= y_A-a\times x_A$
	
	donc $a=\dfrac{8-12}{18-6} = \dfrac{-4}{12} = -\dfrac13$ et $b =12-6\times \dfrac{-1}{3} = 12+2 = 14$ \qquad donc \fbox{$f(x) = -\dfrac13x+14$	}
	
	Puis on peut alors calculer $f(10) = -\dfrac{10}{3}+14$ donc \fbox{$f(10) = \dfrac{32}{3}$ }
	
}
\exo Déterminer les expressions algébriques des fonctions affines dont les graphes sont dessinés ici : \bigskip

\hfil\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.5cm,y=1cm]
	\draw [color=black,dotted, xstep=.75cm,ystep=0.5cm] (-4.,-3.5) grid (4.,4.5);
	\draw[->,color=black] (-4.,0.) -- (4.,0.);
	\foreach \x in {1}
	\draw[shift={(\x,0)},color=black,line width=2pt] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[above] {\small $~\x$};
	\draw[->,color=black] (0.,-3.5) -- (0.,4.5);
	\foreach \y in {1}
	\draw[shift={(0,\y)},color=black,line width=2pt] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $~\y$};
	\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[left] {\footnotesize $0$};
	\clip(-4.,-3.5) rectangle (4.,4.5);
	\draw[line width=2pt,color=blue,smooth,samples=100,domain=-4.0:4.0] plot(\x,{-1.5});
	\draw[line width=2pt,color=brown,smooth,samples=100,domain=-4.0:4.0] plot(\x,{-0.5*(\x)+1.25});
	\draw[line width=2pt,color=Green4,smooth,samples=100,domain=-4.0:4.0] plot(\x,{0.66667*(\x)-1.0});
	\begin{scriptsize}
		\draw[color=black] (-3.5,-1.5) node {\large $\mathscr{D}_3$};
		\draw[color=black] (-3.5,3.5) node {\large $\mathscr{D}_2$};
		\draw[color=black] (3,1.5) node {\large $\mathscr{D}_1$};
	\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}

{\red $\mathscr{D}_3$ est horizontale et passe par $(0;-1.5)$ donc son équation est \fbox{$y=-1.5$}
	
	\vskip 1cm
	
	$\mathscr{D}_1$ passe par $A(-2,5;2,5)$ et $B(2,5;0)$
	
	donc $a= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{0-2,5}{2,5-(-2,5)} = \dfrac{-1}{2}$ et $b= y_B-a\times x_B = \dfrac{5}{4}$  
	
	donc son équation est \fbox{$y=-\dfrac12x+\dfrac54$}
	
	\vskip 1cm
	
	$\mathscr{D}_2$ passe par $C(-1,5;-2)$ et $D(1,5;0)$
	
	donc $a= \dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C} = \dfrac{0-(-2)}{1,5-(-1,5)} = \dfrac23$ et $b= y_D-a\times x_D = -1$  
	
	donc son équation est \fbox{$y=\dfrac23x-1$}


\end{document}
