\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}%http://ctan.mines-albi.fr/macros/latex/contrib/xcolor/xcolor.pdf page38
\usepackage{pstricks}

\usepackage{setspace}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\DecimalMathComma

\def\moisEnCours{\ifcase\month
      \or Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
      Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or
      D\'ecembre\fi \relax}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \moisEnCours~ \the\year}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{EXERCICES}}}}} %centre


%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}}

\begin{document}\onehalfspacing
%\everymath{\displaystyle}
~ Le système à résoudre est le suivant : 

 $ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3\cr 10x & -2y & -z & = & 4\cr x & +y & +z & = & 6\end{matrix}\right. $ \bigskip

On détermine les coefficients à utiliser pour faire disparaitre les $ x $ des deux dernières lignes par différences : 

 $ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3\cr 10x & -2y & -z & = & 4\cr x & +y & +z & = & 6\end{matrix}\right. $   {\red  $ \begin{matrix} (\times 10 ) & 50x & -10y & +10z & = & 30\cr (\times 5 ) & 50x & -10y & -5z & = & 20\cr  ~\end{matrix} $  }     {\blue  $ \begin{matrix} (\times 1 ) & 5x & -y & +z & = & 3\cr ~\cr (\times 5 ) & 5x & +5y & +5z & = & 30\end{matrix} $  }   \bigskip

Cela donne : 

 $ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 & L_1=\text{pivot}_1\cr  & & -15z & = & -10 & L_2\leftarrow 5 L_2-10L_1\cr  & 6y & +4z & = & 27 & L_3\leftarrow 5 L_3-L_1\end{matrix}\right. $ \bigskip

Cela donne : 

 $ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 & \text{conservée}\cr  & 6y & +4z & = & 27 & \text{conservée}\cr  & & -15z & = & -10 & \text{déjà prête}\end{matrix}\right. $ \bigskip

C'est un système de Cramer car on peut trouver un $ z $ puis un $ y $ unique et enfin un $ x $ unique.\bigskip

On remplace $ z $ par sa valeur dans la ligne 2.

 $ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3\cr  & 6y & +4z & = & 27 &  \Lsh \text{on reporte}\cr  & & z & = &  \frac{2}{3}  & \text{on a divisé par} -15\end{matrix}\right. $ \bigskip

On remplace $ y $ et $ z $ par leurs valeurs dans la ligne 1.

 $ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 &  \Lsh \text{on reporte}\cr  & y &  & = &  \frac{73}{18} \cr  & & z & = &  \frac{2}{3} \end{matrix}\right. $ \bigskip

On a obtenu les valeurs de $ x,\; y $ et $ z $.

 $ \left\{\begin{matrix}x &  &  & = &  \frac{23}{18} \cr  & y &  & = &  \frac{73}{18} \cr  & & z & = &  \frac{2}{3} \end{matrix}\right. $ \bigskip


\end{document}
