On souhaite résoudre ce système : $ \left\{ \begin{matrix} \text{X} & +2\text{Y} & = & 3\cr 4\text{X} & +5\text{Y} & = & 6\end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} \text{X} & +2\text{Y} &=& 3\cr 4\text{X} & +5\text{Y} & = & 6\end{matrix}\right. $ $ ~ \qquad\begin{matrix}\times 4\cr \times 1\end{matrix}\quad \ominus\!\! \Big\downarrow \quad \begin{matrix} 4\text{X} +8\text{Y} = 12\cr 4\text{X} +5\text{Y} = 6\end{matrix} $

On garde la première équation et on multiplie les lignes pour faire disparaître les \text{X} par soustraction entre les deux équations. Cela donne donc $ 3\text{Y} = 6 $

$ \left\{\begin{matrix} \text{X} & +2\text{Y} &=& 3\cr & 3\text{Y} & = & 6\end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} \text{X} & +2\text{Y} &=& 3\cr & \text{Y} & = & 2\end{matrix}\right. \qquad\begin{matrix}\Lsh\cr\text{on reporte}\end{matrix} $

$ \left\{\begin{matrix} \text{X} & +4 &=& 3\cr & \text{Y} & = & 2\end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} \text{X} &=& 3-4 = -1\cr \text{Y} & = & 2\end{matrix}\right. $

Finalement : $ \fbox{ $ \text{X} = -1\text{ et }\text{Y} = 2 $ } $

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