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\def\tvi{\vrule height 20pt depth 13pt width 10pt }

\def\moisEnCours{\ifcase\month
      \or Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
      Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or
      D\'ecembre\fi \relax}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \moisEnCours~ 2020}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{EXERCICES}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Classe}}}%droit

%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\begin{document}
\everymath{\displaystyle}
~ On considère le polynôme :  $ P(x) = $  $  \dfrac{5}{4}x^2+2x-3 $ 

 \bigskip{\bf Forme canonique }

  $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(x^2+ \dfrac{8}{5}x- \dfrac{12}{5}\right) $ 



 $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2-\left( \dfrac{4}{5}\right)^2- \dfrac{12}{5}\right) $ 



 $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2- \dfrac{16}{25}- \dfrac{12}{5}\right) $ 



 $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2- \dfrac{76}{25}\right) $ 



 \bigskip{\bf Factorisation avec la forme canonique }

  $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2-\sqrt{ \dfrac{76}{25}}^2\right) $ 



 $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2-\left( \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)^2\right) $ 



 $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left( x + \dfrac{4}{5}- \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  \right)\left( x + \dfrac{4}{5}+ \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  \right) $ 



 $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $ 



 \bigskip{\bf Factorisation sans la forme canonique mais avec le discriminant }

  Si on  note $ P(x) = ax^2 + bx+c $ alors : 



 $ \Delta = b^2-4ac = 2^2-4\times \dfrac{5}{4}\times\left(-3\right) = 19>0 $ delta est strictement positif



 On calcule $ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad \text{et}\quad  x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$



 Cela donne $ x_1 = \dfrac{-2-\sqrt{19}}{ \dfrac{5}{2}}\quad \text{et}\quad  x_2 = \dfrac{-2+\sqrt{19}}{ \dfrac{5}{2}}$



 Puis $ x_1 =  \dfrac{-4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \quad \text{et}\quad x_2 =  \dfrac{-4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  $ \bigskip



 La factorisation est  $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $ 



 \bigskip{\bf Solution de $ P(x) = 0 $ utilisant la factorisation }

  $ P(x) = 0\quad\text{ssi}\quad   \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)  = 0$ 



 or un produit de facteurs est nul ssi l'un des facteurs est nul



 donc $ \left(x+ \dfrac{4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)  = 0\quad\text{ou}\quad \left(x+ \dfrac{4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) = 0 $ 



 donc $ x =  \dfrac{-4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  \quad \text{ou}\quad  x =  \dfrac{-4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  $ 



 \bigskip{\bf Tableau de signe }

  $ P(x) =  \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $ 



 Notons $ x_1 =  \dfrac{-4}{5} -  \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  \quad \text{et}\quad  x_2 =  \dfrac{-4}{5} +  \dfrac{2}{5} \sqrt{19}  $ 



 Le facteur de $ x^2 $ est  $  \dfrac{5}{4} $ , il  est positif  et les facteurs sont affines croissants, on a donc le tableau de signe suivant : 



         $$ \begin{array}{ |c|      l ccc cc r|}
            \hline\tvi         x               &-\infty  &     & x_1 &     & x_2 &     &+ \infty  \\ 
            \hline\tvi   \dfrac{5}{4}  &         &  +  &     &  +  &     &  +  &           \\
            \hline\tvi     (x-x_1)             &         &  -  &  0  &  +  &  |  &  +  &           \\ 
            \hline\tvi     (x-x_2)             &         &  -  &  |  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
            \hline\tvi       P(x)              &         &  +  &  0  &  -  &  0  &  +  &           \\ 
           \hline\end{array} $$ 


\end{document}
