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\def\moisEnCours{\ifcase\month
      \or Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
      Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or
      D\'ecembre\fi \relax}

% ############################################################################################
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \moisEnCours~ \the\year}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{EXERCICES}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Cira\textsuperscript{2}}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}}
% ############################################################################################

\begin{document}
\everymath{\displaystyle}
 Déterminer les valeurs de A et B pour que $ G(x) = \dfrac{10x+20}{(x+30)(x+40)} = \dfrac{A}{x+30} + \dfrac{B}{x+40}$ \vskip 1cm
Pour trouver A, associé à $(x+30)$ on multiplie $G(x)$ par $(x+30)$ on simplifie et on fait tendre $x$ vers $-30$

On obtient : ${\red (x+30)} G(x) 
= \dfrac{(10x+20){\red (x+30)}}
{(x+30)(x+40)} 
= \dfrac{A{\red (x+30)}}{(x+30)} 
+ \dfrac{B{\red (x+30)}}{x+40}$\bigskip 

puis $(x+30) G(x) = \dfrac{10x+20}{x+40} = A + \dfrac{B{\red (x+30)}}{x+40}$\bigskip 

et enfin $\lim\limits_{x\to-30 } (x+30)G(x) = \dfrac{-280}{10} = A+0$ donc $\fbox{$A =-28$} $\vskip 1cm
Pour trouver B, associé à $(x+40)$ on multiplie $G(x)$ par $(x+40)$ on simplifie et on fait tendre $x$ vers $ -40 $

On obtient : ${\red (x+40)} G(x) = \dfrac{(10x+20){\red (x+40)}}{(x+30)(x+40)} = \dfrac{A{\red (x+40)}}{(x+30)} + \dfrac{B{\red (x+40)}}{x+40}$\bigskip 

puis $(x+40) G(x) = \dfrac{10x+20}{(x+30)} = \dfrac{A(x+40)}{(x+30)}+ B$\bigskip 

et enfin $\lim\limits_{x\to-40} (x+40)G(x) = \dfrac{-380}{-10} = 0+B$ donc $\fbox{$ B =38$} $\vskip 1cm

On a établi que : $ G(x) = \dfrac{10x+20}{(x+30)(x+40)} = \dfrac{-28}{x+30}+\dfrac{38}{x+40}$
\end{document}
