Pour trouver A, associé à $(x-9)$ on multiplie $G(x)$ par $(x-9)$ on simplifie et on fait tendre x vers $9$
On obtient : $\color{red}{(x-9)} G(x) = \dfrac{(6)\color{red}{(x-9)}} {(x-9)(x-1)} = \dfrac{A\color{red}{(x-9)}}{x-9} + \dfrac{B\color{red}{(x-9)}}{x-1}$

puis $(x-9) G(x) = \dfrac{6}{x-1} = A + \dfrac{B\color{red}{(x-9)}}{x-1}$

et enfin $\lim\limits_{x\to9} (x-9)G(x) = \dfrac{6}{8} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{3}{4} $} $

Pour trouver B, associé à $(x-1)$ on multiplie $G(x)$ par $(x-1)$ on simplifie et on fait tendre $ x $ vers $ 1 $
On obtient : $\color{red}{(x-1)} G(x) = \dfrac{(6)\color{red}{(x-1)}}{(x-9)(x-1)} = \dfrac{A\color{red}{(x-1)}}{x-9} + \dfrac{B\color{red}{(x-1)}}{x-1}$

puis $(x-1) G(x) = \dfrac{6}{x-9} = \dfrac{A(x-1)}{x-9}+ B$

et enfin $\lim\limits_{x\to1} (x-1)G(x) = \dfrac{6}{-8} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{-3}{4} $} $

On a établi que : $ G(x) = \dfrac{6}{(x-9)(x-1)} = \dfrac{ \frac{3}{4} }{x-9}+\dfrac{ \frac{-3}{4} }{x-1}$